UVA11021 Tribles——概率dp

传送门

被zzh问这道题

然后陪着他看了看这道题的题解

Excuse me??

所有人都写的“由全概率公式得：……”

我真的不知道他们是怎么写出来的？

全概率公式只是一个描述而已

又不是什么高深的定理之类的

怕是半懂不懂就写上去了吧。。。。

考虑到每一个麻球都是独立的

所以我们只需要求出一只麻球在m天内死亡的概率

k次方就是最终答案了

那么怎么求一只麻球死亡的概率呢？

首先我们可以发现对于一只麻球

他在一天内直接死亡（也就是不产生后代）的概率是$p_0$

而如果他有儿子

那对于他的每一个儿子来说

这个儿子在一天内直接死亡的概率是$p_0$

这个很显然吧

那么也就是说它的所有儿子在儿子出生后第一天直接死亡的概率就是$p_0^{num}（num为儿子数量）$

而考虑到他有$p_i$的概率生出$i$个儿子

所以其儿子的死亡概率为$Σp_0^{i}*p_i$

而这也就是他在第二天死亡的概率

所以我们发现

对于一个毛球，他在$i$天死亡的概率就是他父亲在$i+1$天死亡的概率

他在第$i$天死亡的概率就是他儿子们在$i-1$天死亡的概率，也就是一个毛球在$i-1$天死亡的概率的儿子数量次方

那我们就可以直接递推就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
inline int read(){
    char ch=getchar();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return res*f;
}
int T,n,m,k;
double p[1005],f[1005];
inline double poww(double x,int k){
    double e=1.0;
    for(;k;k>>=1,x=x*x){
        if(k&1)e=e*x;
    }
    return e;
}
int main(){
    T=read();
    for(int cas=1;cas<=T;cas++){
        memset(f,0,sizeof(f));
        n=read(),k=read(),m=read();
        for(int i=0;i<n;i++){
            cin>>p[i];
        }
        f[1]=p[0];
        for(int i=2;i<=m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                f[i]+=p[j]*poww(f[i-1],j);
            }
        }
        printf("Case #%d: %.8lf\n",cas,poww(f[m],k));
    }
}