整除问题（对问题描述的分析）（即对dp状态的分析）

整除问题

问题描述：
给定N个正整数，和一个数M，要求从这N个数中选出一些数来求和，使和为M的整数倍，问一共有多少种方法。
0≤M,N≤1000
输入：
第一行两个数表示N和M；
第二行N个数 分别表示给定的这N个数。
输出：
一个整数，表示方法总数对1234567的余数
不考滤N个数中的相同数引起的重复。
例如
3 2
2 2 4
可以有{2}，{2}，{4}，{2，4}，{2，4}，{2，2}，{2，2，4} 共7种方法。

既然是选出一些数，那么就是背包问题，但是他又不大像背包问题，所以我们需要从头看起(O_O)?

预备知识，余数性质

1. 整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数。例如27除以6， 商数为4，余数为3。

2.一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己.。例如:1除以2，商数为0，余数为1。2除以3，商数为0，余数为2。

3.取余数运算：a % b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c。

余数的计算公式：c = a -⌊ a/b⌋ * b其中，⌊ ⌋为向下取整运算符，向下取整运算称为Floor，用数学符号⌊ ⌋表示

例：⌊ 3.476 ⌋=3，⌊6.7546⌋=6，⌊-3.14159⌋= -4

如 7 mod 3 = 7-⌊7/3⌋*3=7-2*3=1

4.余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值（适用于实数域）这不是废话吗QWQ

5.被除数=除数×商+余数；

除数=（被除数-余数）÷商；

商=（被除数-余数）÷ 除数；

余数=被除数-除数×商。

（这都是废话）

6.如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

7.a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

8.a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

好了，哔哔了这么久，需要一个看法了

从最简单的开始，设dp(i)表示前i个数，构成%m==0的方案数(注意，是m的整数倍就是%m==0)(信息学中，许多数学知识都需要往%上靠)

思考第i个数，如果不选择第i个数，则dp(i)=dp(i-1)

如果选择第i个数，等等，我们需要知道 我们需要知道前i个数的具体情况因为，我们只知道前i个数有一些方案%m==0，但是，我们不知道如何选择i。

所以这个状态自然而然的扩展到了二维来描述问题

设dp(i,j)表示前i个数选一些数，%m==j的方案数

按照原来的dp(i,j)=dp(i-1,j)+dp(i-1,k)

因为我们要维护dp(i,j)表示前i组成的方案，那么他还可继承i-1个数中，满足(k+num[i])%m==j的情况，但是这是余数方程，有点难解

有两种处理方法1.将(k+num[i])%m==j变为(k%m+num[i]%m)%m==j直至可解

还有一种方法，既然dp(i,j)可以通过dp(i-1,k)k满足(k+num[i])%m==j的情况继承

那么如果dp(i,j)如果已经算出了，他可以使什么被继承呢dp(i+1,j)还有dp(i+1,(j+num[i+1])%m==j)

这样的话，我们依然可以用已知去填未知把问题缩小，只是从被动变成主动了

这样的话，在不改变循环顺序的情况下，就可以出解。

如下附上代码n(*≧▽≦*)n

附：这道题，我们可以看出，dp写转移方程时有几个重要的思想：1.维护，2.继承。如果不满足，就只能换状态喽。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int data[1001],f[1001][1001];
int main()
{
    int n,k,tot=0;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&data[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i][data[i]%k]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=k-1;j++)
        {
            f[i][j]+=f[i-1][j]+f[i-1][(j+k-data[i]%k)%k];
            f[i][j]%=1234567;
        }
    printf("%d",f[n][0]);
    return 0;
}

#include<cstdio>
#define N 1000+10
using namespace std;
int num[N],f[N][N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][num[i]%m]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m-1;j++)
        {
            f[i+1][j]+=f[i][j];
            f[i+1][(j+num[i+1])%m]+=f[i][j];
            f[i+1][j]%=1234567;
            f[i+1][(j+num[i+1])%m]%=1234567;
        }
    printf("%d",f[n][0]);
    return 0;
}