3.13校内测试
T1
\(GT\)考试加强版，\(n,m\)都改为\(10^5\)，字符集大小（以下称为\(k\)）改为\(10^9\)，对\(998244353\)取模。
\(std\)给了一个暴力容斥的卷积优化，以及一个用\(border\)不超过\(log\)个等差数列的性质的前缀和优化。
不过这里要给出一个神仙做法。
\(orz~cx233666!!!\)
习惯性的，我们把长度为\(n\)的串（准考证号）叫做大串，长度为\(m\)的串（不吉利数字）叫做小串。
设\(g_i\)表示大串前\(i\)位不出现小串的概率（以下称为成功），\(f_i\)表示大串第\(i\)位恰好第一次出现小串的概率（以下称为失败），那么答案就是\(g_i*k^n\)。
对于一个成功的方案，下一步可能是成功或失败；对于一个失败的方案，它没法走下一步。所以显然有\(g_i=g_{i+1}+f_{i+1}\)。
然而这个东西看上去好像没啥用啊，别着急，一会有妙用。
接着考虑这样一个问题：对于一个成功的方案，我们让它向后走\(m\)步，走出一个完整的小串插在后面，思考一下这部分意味着什么。
显然是走向失败了——但由于在走之前我们可能已经走出了小串的前面一部分，最后走上了小串的一个\(border\)导致提前失败，不过不要忘了我们还是强行让失败的继续走了剩下的步数。最终应当是所有走向失败的方案的总和。
那么就又有一个式子了：
由于\(f,g\)的定义是概率，所以每一步都要乘上\(\frac1k\)。
接着推上面的式子，把\(k\)消到右边：
为了让右边看的更优美，并且具有某种性质，我们令\(a_{m-i}=[i∈border]k^i\)，那么就变成了：
容易发现我们这样做的目的：\(a\)的下标加上\(f\)的下标变成了一个定值\(i+m\)，不绕弯子的说，就是有卷积的形式了。
我们稍微改一下以证明它确实是个卷积：
由于\(a\)从第\(m\)项以后全部为\(0\)，所以上式显然等价于之前的式子。
但正常的来说，应该是\(g_{i+m}\)等于上式才对啊，\(g\)的下标被搞成了\(i\)怎么办呢？
很简单，我们写出生成函数：
令\(G(x)=\sum_ig_ix^i,F(x)=\sum_if_ix^i,A(x)=\sum_{i=0}^ma_ix^i\)
虽然\(g_i\)的次数不够，但我们可以强行补上：
\(x^mG(x)=A*F(x)\)
由于\(F\)的前\(m\)项没有值，所以右边这部分不管怎么卷都是\(0\)。也就是说，上式虽然左边前\(k\)项没有值，但右边也没有值，而从\(k+1\)项开始就满足上面那个式子了，所以不会出什么\(bug\)。
再看我们最开始写出的式子，用同样的套路，把它用生成函数表示出来：
\(xG(x)+1=G(x)+F(x)\)
注意这次有常数项——后面有\(g_0=1\)，但你前面乘了个\(x\)没常数项，所以要补上。
两个式子搞一块整理一下：
求逆在\(mod~x^{n+1}\)意义下进行。
显然\(a_0=k^m\)，\(\frac{x^m}{A(x)}+1-x\)的常数项为\(1\)，所以两次求逆都成立。
是不是相当妙啊？
T2
给出一张图，对于任何一个点集，我们把所有能够用点集中的点连出来的边进行计数，求每次计数的\(k\)次方和，\(n,m≤10^5,k≤3\)。
几次方就是几条边在同时给答案贡献，那么我们强行分类讨论这几条边由几个点组成，三元环计数即可。
由于时间不够，强行一句话题解。
T3
给出一个字符串，求两个不交（但可以挨在一块）的区间使得它们拼起来是个回文串，求能拼出的最长回文串长度及位置，\(n≤5*10^5\)。
跑一遍\(manacher\)，求出所有回文中心的最长长度，假设回文中心在左边，那么问题就变成了从这个极长回文串的左边紧挨着连一个字符串，右边从某个位置选出一个\(reverse\)后相同的字符串，这个问题就是P4094 [HEOI2016/TJOI2016]字符串。然而我好像不会一个\(log\)的做法诶~
