散列表学习记录
散列表
已知的查找方式：
| 查找方式 | 时间复杂度 | 缺陷 |
|---|---|---|
| 顺序查找 | \(O(N)\) | 效率低 |
| 二分查找 | \(O(log_2N)\) | 只适合静态查找 |
| 二叉搜索树 | \(O(h)\) | 只适合静态查找 |
| AVL树 | \(O(log_2N)\) | 涉及字符串比较 |
查找的本质：已知对象找位置
- 有序安排对象：全序（二分查找），半序（查找树）
- 直接算出位置（散列查找）
散列查找的基本工作
- 计算位置：构造散列函数
- 解决冲突：应用某种策略
时间复杂度\(O(1)\)，即查找时间与问题规模无关，散列方法以空间换时间
如果没有冲突：\(T_{查询}=T_{插入}=T_{删除}=O(1)\)
抽象数据结构
类型名称：符号表（SymbolTable）
数据对象集：符号表是"名字（Name）- 属性（Attribute）"对的集合
操作集：Table ∈SymbolTable , Name ∈ NameType , Attr ∈ AttributeType
SymbolTable InitializeTable( int TableSize ); //创建一个长度为TableSize的符号表
Boolean IsIn( SymbolTable Table, NameType Name ); //查找特定的名字Name是否在符号表Table中
AttributeType Find( SymbolTable Table, NameType Name ); //获取Table中指定名字Name对应的属性
SymbolTable Modefy( SymbolTable Table, NameType Name , AttributeType Attr); //将Table中指定名字Name的属性修改为Attr
SymbolTable Insert( SymbolTable Table, NameType Name , AttributeType Attr); //向Table中插入一个新名字Name及其属性Attr
SymbolTable Delete( SymbolTable Table, NameType Name , AttributeType Attr); //从Table中删除一个名字Name及其属性
装填因子
设散列表空间为\(m\)，填入元素个数为\(n\)，则\(α=n/m\)，\(α\)为散列表的装填因子
散列查找的基本思想：
- 以关键字\(key\)为自变量，通过一个确定的散列函数\(h\)，计算出对应的函数值\(h( key )\)作为数据对象的存储地址
- 当不同关键字映射到相同的散列地址上，即 \(h(key_i) = h(key_j),(key_i ≠key_j)\) 时，需要某种解决策略
散列函数的考虑因素
- 计算简单，以提高转换速度
- 关键词对应的地址空间分布应尽量均匀
数字关键词构造
-
直接定址法：
\(h(key)=a*key+b\)
-
除留余数法：
\(h(key) = key\text{ }mod\text{ }p\)
\(p\) 一般取\(TableSize\)，且为了分布均匀， \(p\) 取素数
-
数字分析法：
分析对象关键字较为随机的部分取为关键字作为地址
eg：对于11位手机号，选取更为随机的后4位：\(h(key) = atoi(key + 7)\text{ }(char* key)\)
-
折叠法：
把关键字分割成位数相同的部分后叠加
eg：\(h(56793542) = 542 + 793 + 056 = 391 (千位去除)\)
-
平方取中法
eg：\(h(56793542) = 641 (3225506412905764取中间部分)\)
字符关键词构造
-
ASCII码加和法：
\(h(key)=(\text{ }\sum_{i=1}^{n}key[i]\text{ })\text{ }mod\text{ }TableSize\)
*冲突严重，ASCII编码范围0127，而对于例如10位数的字符串，变化非常多，但ASCII码加和范围仅为01270，计算结果窄，关键词变化宽
-
简单改进，前3个字符位移：
eg：\(h(key)=(key[0]*27^2+key[1]*27^1+key[2]*27^0)\text{ }mod\text{ }TableSize\)
-
好的散列函数，位移法：
涉及所有\(n\)个字符，且分布均匀：\(h(key)=(\text{ }\sum_{i=0}^{n-1}key[n-i-1]*32^i\text{ })\text{ }mod\text{ }TableSize\)
eg：h("abcde") = \(a*32^4+b*32^3+c*32^2+d*32^1+e*32^0\)
如何快速计算该式子，减少乘法次数？
h("abcde") = \((((a*32+b)*32+c)*32+......\)
且有：\(x*32=x<<5\)
Index Hash(const char *key,int TableSize) { unsigned int h = 0; while( *key != '\0') h = ( h << 5 ) + *key++; return h % TableSize; }
冲突处理
开放地址法(Open Addressing)：换个位置
产生冲突时，按某种规则去寻找另一空地址
若发生了第\(i\)次冲突，试探得下一个地址将增加di，基本公式是：\(h(key)=(h(key)+d_i)\)
不同的解决冲突方案决定了\(d_i\)
-
线性探测（Linear Probing）：\(d_i=i\)
以增量序列\(1,2...(TableSize-1)\)循环试探下一个存储地址
线性探测冲突时，易形成聚集现象
-
平方探测（Quadratic Probing）：\(d_i=±i^2\)
以增量序列\(1^2,-1^2,2^2,-2^2,...,q^2,-q^2\)且\(q≤\lfloor TableSize/2 \rfloor\)循环试探下一个存储地址
有定理显示：如果散列表常地\(TableSize\)是某个\(4k+3\)（\(k\)是整数）形式得素数时，平方探测法就可以探查到整个散列表空间
-
双散列（Double Hashing）：\(d_i=i*h_2(key)\)，\(h_2(key)\)是另一个散列函数
探测序列：\(h_2(key)，2h_2(key)，3h_2(key)，...\)
对任意的\(key\)，有\(h_2(key)≠0\)
探测序列还应该保证所有的散列存储单元都应该能被探测到，选择以下形式被证明有良好效果：
-
再散列(Rehashing)
当散列表元素太多，即装填因子\(α\)太大时，查找效率会下降，可以用再散列加倍扩大散列表
散列表扩大时，原有元素需要重新计算放置到新表中
实用最大装填因子一般取\(0.5≤α≤0.85\)
分离链接法（Separate Chaining）：将相应位置上冲突的所有关键词存储在同一个单链表中
散列表的性能分析
平均查找长度（ASL）用来度量散列表查找效率：成功、不成功
关键词的比较次数，取决于产生冲突的多少
影响产生冲突多少有一下三个因素：
- 散列函数是否均匀
- 处理冲突的方法
- 散列表的装填因子α，当装填因子α＜0.5时，各种探测法的期望探测次数都不大，也比较接近
