AtCoder Beginner Contest 242 C~E 题解

合集 - 题解(45)

28.AtCoder Beginner Contest 242 C~E 题解2022-03-08

C - 1111gal password

题目大意#

给定正整数\(N\)，求符合下列条件的整数\(X\)的个数，对\(998244353\)取模：

\(X\)是\(N\)位的正整数
\(X\)的每一位数都在\([1,9]\)之间（0不行）；
\(X\)的相邻两位数之差的绝对值不超过\(1\)。

\(2\le N\le 10^6\)

输入格式#

\(N\)

输出格式#

输出答案。

样例#

\(N\)	输出
\(4\)	\(203\)
\(2\)	\(25\)
\(1000000\)	\(248860093\)

分析#

根据乘法原理可得，符合条件的\(N\)位数最多有\(9^N\)个，显然不能暴力求解。
但是，由于每一位会被上一位所限制，所以我们很容易想到使用\(\text{DP}\)求解。
令\(f(i,j)=X\)的第\(i\)位上出现\(j\)的可能数，易得：

\[f(i,j)=\begin{cases} 1&(i=1)\\ f(i-1,1)+f(i-1,2)&(j=1)\\ f(i-1,8)+f(i-1,9)&(j=9)\\ f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1,j+1)&(i>1,2\le j\le8) \end{cases} \]

因此，直接输出\(\sum\limits_{i=1}^9f(n,i)\)即可。

代码#

本代码运用了滚动表的优化，当然也可以直接开\(N\times9\)大小的数组，但这样会导致内存占用大，不建议使用。

#include <cstdio>
#define MOD 998244353
using namespace std;

inline void mod(int& x)
{
	if(x >= MOD) x -= MOD;
}

int dp[9], ldp[9];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<9; i++)
		dp[i] = 1;
	while(--n)
	{
		for(int i=0; i<9; i++)
			ldp[i] = dp[i];
		mod(dp[0] += dp[1]), mod(dp[8] += dp[7]);
		for(int i=1; i<8; i++)
			mod(dp[i] += ldp[i - 1]),
			mod(dp[i] += ldp[i + 1]);
	}
	int ans = 0;
	for(int i=0; i<9; i++)
		mod(ans += dp[i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

D - ABC Transform

题目大意#

给定由A、B、C组成的字符串\(S\)。令\(S_0=S\)，\(S_i=S_{i-1}\)将A、B、C分别替换为BC、CA、AB的新字符串。
回答\(Q\)个查询，第\(i\)个查询的问题如下：

求\(S_{t_i}\)的第\(k_i\)个字母。

\(1\le |S|\le 10^5\)
\(1\le Q\le 10^5\)
\(1\le t_i\le 10^{18}\)
\(1\le k_i\le min(10^{18},S_{t_i}\)的长度\()\)

输入格式#

\(S\)
\(Q\)
\(t_1~k_1\)
\(\vdots\)
\(t_Q~k_Q\)

样例#

样例输入1#

样例输出1#

A
B
C
B

\(S_0=~\)ABC
\(S_1=~\)AABCB

样例输入2#

CBBAACCCCC
5
57530144230160008 659279164847814847
29622990657296329 861239705300265164
509705228051901259 994708708957785197
176678501072691541 655134104344481648
827291290937314275 407121144297426665

样例输出2#

A
A
C
A
A

注意小心整数溢出问题。

分析#

令\(f(t,k)=(S_0\)为AAA..时\(S_t\)的第\(k\)个字母，其中A、B、C分别对应\(0,1,2\)且\(k\)从\(0\)开始\()\)，则通过找规律可得：

\[f(t,k)=\begin{cases} 0 & (t=0)\\ g(0,t) & (k=0)\\ g(f(t-1,\lfloor\frac k2\rfloor),(k\bmod2)+1) & (t>0,k>0) \end{cases} \]

其中\(g(c,x)\)为字符\(c\)在A,B,C,A,...这个环中\(c\)后面的第\(x\)个字符，即\(g(c,x)=(c+x)\bmod3\)。
因此，我们只要求出\(x\)在\(S\)的哪个字符分解后的结果中，再计算\(f\)即可。
答案为\(\mathrm{ans}=g(f(t,(k-1)\bmod2^t),S_{\lfloor\frac {k-1}{2t}\rfloor})\)。

代码#

以下两种示范代码均使用非递归形式，当然也可使用递归形式。

代码1（标准）#

#include <cstdio>
using namespace std;

char s[100005];

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int q;
	scanf("%d", &q);
	while(q--)
	{
		long long t, k;
		scanf("%lld%lld", &t, &k);
		k --;
		int x = s[t < 64? k >> t: 0] - 'A'; // 防止t太大导致RE
		while(t > 0 && k > 0)
		{
			x = (x + int(k & 1LL) + 1) % 3;
			k >>= 1LL, t --;
		}
		putchar((t + x) % 3 + 'A');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

代码2（优化）#

#include <cstdio>
using namespace std;

char s[100005];

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int q;
	scanf("%d", &q);
	while(q--)
	{
		long long t, k;
		scanf("%lld%lld", &t, &k);
		k --;
		int c = 0;
		if(t < 64)
		{
			c = s[k >> t] - 'A';
			k &= (1LL << t) - 1LL;
		}
		else c = s[0] - 'A';
		for(c+=t%3; k>0; k&=k-1) c ++;
		putchar(c % 3 + 'A');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

E - (∀x∀)

题目大意#

对于\(T\)个测试点，分别解决下列问题：
给定整数\(N\)和字符串\(S\)，求合法字符串\(X\)的个数，使其符合下列条件：

\(|X|=N\)
\(X\)由大写英文字母组成，是一个回文串
按字典序，\(X\le S\)

\(1\le T\le 250000\)
\(1\le N\le 10^6\)
\(1\le \sum N\le 10^6\)
\(|S|=N\)且由大写英文字母组成。

分析#

显然，通过\(X\)的前\(\lceil\frac N2\rceil\)个字符就可以确定唯一的\(X\)。下面，我们以ABCDE为例：

ABCDE的前\(\lceil\frac N2\rceil\)个字符分别为ABC
字典序小于ABC的字符串有\(28\)个（可看作一个\(26\)进制数来计算）
判断ABCBA是否可行，与ABCDE比较
可行，答案增加\(1\)得到\(29\)

因此，我们输出\(29\)。其他情况类似。

代码#

#include <cstdio>
#define maxn 1000005
#define MOD 998244353
using namespace std;

using LL = long long;
char s[maxn];

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		int n;
		scanf("%d%s", &n, s);
		long long x = 0LL;
		int j = n - 1 >> 1;
		for(int i=0; i<=j; i++)
			(x = x * 26LL + s[i] - 'A') %= MOD;
		bool ok = true;
		while(j >= 0)
		{
			if(s[j] < s[n - 1 - j]) break;
			if(s[j] > s[n - 1 - j]) { ok = false; break;}
			j --;
		}
		if(ok && ++x == MOD) x -= MOD;
		printf("%lld\n", x);
	}
	return 0;
}

作者：GoodCoder666

出处：https://www.cnblogs.com/stanleys/p/18403484/abc242

版权：本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

posted @ 2022-03-08 22:30 GoodCoder666 阅读(8) 评论(0) 编辑收藏举报

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