【数论】算数唯一分解定理
内容
对于所有正整数 \(N\)，都可以进行质因数分解为：
\[N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \dots p_n^{a_n}
\]
而大于一的整数能分解为有限个质数的乘积。
（\(p_i\) 都是质数，\(c_i\) 都是非负整数。）
应用
则：
- \(N\) 的正因数个数为 \(\sigma_0(N) = (1+a_1)(1+a_2)(1+a_3) \dots (1+a_n)\)。
- \(N\) 的正因数之和为 \(\sigma_1(N) = (p_1^0+p_1^1+p_1^2+\dots+p_1^{a_1})\)。
- 可以求正整数 \(a\)，\(b\) 的 \(\gcd\) 和 \(\mathrm{lcm}\)
：\(\gcd\{a, b\} = p_1^{\min\{a_1, b_1\}}\cdot p_2^{\min{a_2, b_2}}\cdots p_n^{\min{a_n, b_n}}, \mathrm{lcm}\{a, b\} = p_1^{\max\{a_1, b_1\}}\cdot p_2^{\max{a_2, b_2}}\cdots p_n^{\max{a_n, b_n}}\)
