HDU 2829 Lawrence

HDU_2829

    设w[i][j]表示i到j的value，那么可以得到f[i][j]=min{f[i-1][k-1]+w[k][j]}(i<k<=j)，如果直接dp的话是O(M*N^2)的复杂度。

    然而这个状态转移方程和POJ_1160的状态转移方程是一样的，因而只要我们能够证明w为凸的话，就可以证明f[i][j]为凸，那么就可以用四边形不等式进行优化了。

    要证w为凸，只要证w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i][j+1]+w[i+1][j]即可，也就是证明w[i+1][j]-w[i][j]是关于j单调递减的。又因为w[i][j]=w[i+1][j]+(A[j]-A[i])*a[i]，其中a[i]表示i点权，A[i]表示1,2,…,i的点权和，代入到w[i+1][j]-w[i][j]中就可以得到w[i+1][j]-w[i][j]=(A[i]-A[j])*a[i]，显然是随j的增加而递减的。这样我们就证明出了w为凸，进而可以证明f[i][j]的求解可以用四边形不等式优化。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXD 1010
#define INF 0x3f3f3f3f
int f[MAXD][MAXD], w[MAXD][MAXD], K[MAXD][MAXD], N, M, a[MAXD], A[MAXD];
void init()
{
    int i, j, k;
    A[0] = 0;
    for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        A[i] = a[i] + A[i - 1];
    }
}
void solve()
{
    int i, j, k, p, t;
    for(i = 0; i <= N; i ++)
    {
        f[i][i] = K[i][i] = i;
        w[i][i] = 0;
    }
    for(p = 1; p <= N - M; p ++)
        for(i = 1; (j = i + p) <= N; i ++)
            w[i][j] = w[i + 1][j] + a[i] * (A[j] - A[i]);
    for(i = M + 1; i <= N; i ++)
        K[M + 1][i] = i;
    for(p = 1; p <= N - M; p ++)
    {
        f[0][p] = w[1][p];
        for(i = 1; i <= M; i ++)
            f[i][i + p] = INF;
        for(i = 1; i <= M; i ++)
        {
            j = i + p;
            for(k = K[i][j - 1]; k <= K[i + 1][j]; k ++)
                if((t = f[i - 1][k - 1] + w[k][j]) < f[i][j])
                {
                    f[i][j] = t;
                    K[i][j] = k;
                }
        }
    }
    printf("%d\n", f[M][N]);
}
int main()
{
    for(;;)
    {
        scanf("%d%d", &N, &M);
        if(!N && !M)
            break;
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}