UVA 10303 How Many Trees?

UVA_10303

    不妨设f[i]表示一共有i个元素的时候的二叉搜索树的个数，那么我们依次取1-n作为根就会得到f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+…+f[n-1]*f[0]，如果我们稍加变形，做一个f[n]=p[n+1]的映射，就会发现f[n]=p[n+1]=p[1]*p[n]+p[2]*p[n-1]+…+p[n]*p[1]，这样右边就变成卡特兰数了，于是我们也就算找到了f[n]和卡特兰数的通项p[n]的关系，即f[n]=p[n+1]。

    又因为p[1]=1，p[2]=1，所以p[n]=(4n-6)/n*p[n-1]，f[n]=(4n-2)/(n+1)*f[n-1]

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        BigInteger[] f = new BigInteger[1010];
        f[1] = new BigInteger("1");
        for(int i = 2; i <= 1000; i ++)
            f[i] = f[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(4 * i - 2)).divide(BigInteger.valueOf(i + 1));
        while(cin.hasNext())
        {
            int n = cin.nextInt();
            System.out.println(f[n]);
        }
    }
}