斯特林数 STIRLING NUMBERS

第二类斯特林数

定义：符号 \(\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}\) 表示有 \(n\) 件物品的集合划分成 \(k\) 个非空子集的方案数。例如，将有一个有 \(4\) 个元素的集合分成两部分有 \(7\) 种方法：

\[\rm \{1,2,3\}∪\{4\}, \ \{1,2,4\}∪\{3\}, \ \{1,3,4\}∪\{2\}, \ \{2,3,4\}∪\{1\}\\ \{1,2\}∪\{3,4\}, \ \{1,3\}∪\{2,4\}, \ \{1,4\}∪\{2,3\}\]

我们来观察小的 \(k\)，恰有一种方法将 \(n\) 个元素分成一个单独的非空子集，于是对所有 \(n>0\) 有 \(\begin{Bmatrix}n\\ 1\end{Bmatrix}=1\)，另一方面 \(\begin{Bmatrix}0\\ 1\end{Bmatrix}=0\)，因为有零个元素的集合是空集。

\(k=0\) 的情形：\(\begin{Bmatrix}0\\ 0\end{Bmatrix}=1\)，对于 \(n>0\) 有 \(\begin{Bmatrix}n\\ 0\end{Bmatrix}=0\)。

\(k=2\) 的情形：有 \(\begin{Bmatrix}0\\ 2\end{Bmatrix}=0\)。如果一个有 \(n>0\) 个元素的集合被分成两个非空的部分，其中一部分包含最后一个元素以及前 \(n-1\) 个元素的某个子集。有 \(2^{n-1}\) 种方式选择那个子集，但是我们不能把那些元素全部放入其中，因为我们想要划分出两个非空的部分。于是我们减去 \(1\)：\(\begin{Bmatrix}n\\ 2\end{Bmatrix}=2^{n-1}-1(n>0)\)

这个方法的修改引出一个递归式，通过它我们可以对所有的 \(k\) 计算 \(\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}\)：给定有 \(n\) 个元素的集合，要把它分成 \(k\) 个非空的部分。我们可以将最后的元素单独放入一类（有 \(\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}\) 种方式），或者把他与前面 \(n-1\) 个元素的某个非空子集放在一起（有 \(k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}\)）。从而：

\[\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}=k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix} \]