斯特林数 STIRLING NUMBERS

第二类斯特林数

定义：符号 $\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}$ 表示有 $n$ 件物品的集合划分成 $k$ 个非空子集的方案数。例如，将有一个有 $4$ 个元素的集合分成两部分有 $7$ 种方法：

$$\rm \{1,2,3\}∪\{4\}, \ \{1,2,4\}∪\{3\}, \ \{1,3,4\}∪\{2\}, \ \{2,3,4\}∪\{1\}\\ \{1,2\}∪\{3,4\}, \ \{1,3\}∪\{2,4\}, \ \{1,4\}∪\{2,3\}$$

我们来观察小的 $k$，恰有一种方法将 $n$ 个元素分成一个单独的非空子集，于是对所有 $n>0$ 有 $\begin{Bmatrix}n\\ 1\end{Bmatrix}=1$，另一方面 $\begin{Bmatrix}0\\ 1\end{Bmatrix}=0$，因为有零个元素的集合是空集。

$k=0$ 的情形：$\begin{Bmatrix}0\\ 0\end{Bmatrix}=1$，对于 $n>0$ 有 $\begin{Bmatrix}n\\ 0\end{Bmatrix}=0$。

$k=2$ 的情形：有 $\begin{Bmatrix}0\\ 2\end{Bmatrix}=0$。如果一个有 $n>0$ 个元素的集合被分成两个非空的部分，其中一部分包含最后一个元素以及前 $n-1$ 个元素的某个子集。有 $2^{n-1}$ 种方式选择那个子集，但是我们不能把那些元素全部放入其中，因为我们想要划分出两个非空的部分。于是我们减去 $1$：$\begin{Bmatrix}n\\ 2\end{Bmatrix}=2^{n-1}-1(n>0)$

这个方法的修改引出一个递归式，通过它我们可以对所有的 $k$ 计算 $\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}$：给定有 $n$ 个元素的集合，要把它分成 $k$ 个非空的部分。我们可以将最后的元素单独放入一类（有 $\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}$ 种方式），或者把他与前面 $n-1$ 个元素的某个非空子集放在一起（有 $k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}$）。从而：

$$\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}=k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}$$