二项式系数 BINOMIAL COEFFICIENTS

基本恒等式 BASIC IDENTITIES

符号 ${\dbinom {n}{k}}$ 就是二次项系数，将此符号读作 “ $n$ 选取 $k$ ”。这种常用说法来源于它的组合解释——从一个有 $n$ 个元素的集合选取 $k$ 个元素做成子集的方法数。

嗯，显然有 ${\dbinom {n}{k}}=\dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{k(k-1)...(1)}$ ，我们称 $n$ 为上指标，称 $k$ 为下指标。

我们记 $n(n-1)...(n-k+1)=n^{\underline k}$ ，那么 ${\dbinom {n}{k}}=\dfrac{n^{\underline k}}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 。

对称恒等式： ${\dbinom {n}{k}}={\dbinom {n}{n-k}}$ (5.4)
吸收恒等式： ${\dbinom {r}{k}}=\dfrac{r}{k}{\dbinom {r-1}{k-1}}$ (5.5)
吸收恒等式： $k{\dbinom {r}{k}}=r{\dbinom {r-1}{k-1}}$ (5.6)
吸收恒等式： $(r-k){\dbinom {r}{k}}=r{\dbinom {r-1}{k}}$ (5.7)

我们可以两次应用对称性 (5.4) 和 (5.6)，从而推出 (5.7)。

$(r-k){\dbinom {r}{k}}=(r-k){\dbinom {r}{r-k}=r{\dbinom {r-1}{r-k-1}}}=r{\dbinom {r-1}{k}}$
加法公式： ${\dbinom {r}{k}}={\dbinom {r-1}{k}+\dbinom {r-1}{k-1}}$ (5.8)

理解性证明： $r$ 个数选 $k$ 个数，若第 $r$ 个数不选，就是前 $r-1$ 个数选 $k$ 个数。若第 $r$ 个数选，就是前 $r-1$ 个数选 $k-1$ 个数。

当然了，我们可以把 (5.7) 和 (5.7) 相加起来推导 (5.8)： $(r-k){\dbinom {r}{k}}+k{\dbinom {r}{k}}=r{\dbinom {r-1}{k}}+r{\dbinom {r-1}{k-1}}$ 化简就得到 (5.8)。
由 (5.8) 可以推导：

(\binom{5}{3}) = (\binom{4}{3}) + (\binom{4}{2}) = (\binom{4}{3}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{3}{1}) = (\binom{4}{3}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{2}{1}) + (\binom{2}{0}) = (\binom{4}{3}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{2}{1}) + (\binom{1}{0}) + (\binom{1}{- 1})

$\dbinom {5}{3}=\dbinom {4}{3}+\dbinom {4}{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {4}{3}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {3}{1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {4}{3}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {2}{1}+\dbinom {2}{0}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {4}{3}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {2}{1}+\dbinom {1}{0}+\dbinom {1}{-1}$

由于 $\dbinom {1}{-1}=0$ ，这一项就消失了，这个方法可以推导出下面的一般公式： $\dbinom {r}{0}+\dbinom {r+1}{1}+...+\dbinom {r+n}{n}=\dbinom {r+n+1}{n}$ 。(5.9)

我们还可以对 $\dbinom {5}{3}$ 这样变形：

(\binom{5}{3}) = (\binom{4}{3}) + (\binom{4}{2}) = (\binom{3}{3}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{4}{2}) = (\binom{2}{3}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{4}{2}) = (\binom{1}{3}) + (\binom{1}{2}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{4}{2}) = (\binom{0}{3}) + (\binom{0}{2}) + (\binom{1}{2}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{4}{2})

$\dbinom {5}{3}=\dbinom {4}{3}+\dbinom {4}{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {3}{3}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {4}{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {2}{3}+\dbinom {2}{2}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {4}{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {1}{3}+\dbinom {1}{2}+\dbinom {2}{2}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {4}{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dbinom {0}{3}+\dbinom {0}{2}+\dbinom {1}{2}+\dbinom {2}{2}+\dbinom {3}{2}+\dbinom {4}{2}$

我们可以把 $\dbinom {0}{3}$ 等价变为 $\dbinom {0}{2}$ 。则可以联想到一般的形式： $\dbinom {0}{m}+\dbinom {1}{m}+...+\dbinom {n}{m}=\dbinom {n+1}{m+1}$ 。