AtCoder Regular Contest 156

B. Mex on Blackboard

题目大意

给定 \(N\) 个元素的数组 \(A\)，每次操作你可以从数组中选出任意个元素，然后向数组中加入这些元素的 \(mex\) 。

问 \(K\) 次操作后，可以得到多少种不同的数组。

思路

假如你能向数组中加入 \(x\) 且 \(x\) 是你写的最大整数，那么数组中 \(0\sim x-1\) 绝对都出现过一次。 因为如果 \(x-1\) 不存在的话加入的数会变成 \(x-1\) 。第一次写入 \(x\) 后，之后就可以加入 \(0\) 到 \(x\) 之间的任何整数。

观察到值域不大，考虑枚举最大整数 \(x\)。设你需要 \(cnt\) 次才能写下 \(x\) 这个数，那么你写下 \(x\) 这个数后就还剩 \(K-cnt\) 次操作机会，问题转化成使用 \(K-cnt\) 次操作，每次操作写下 \(0\sim x\) 任意一个数，问最后有多少个多重集合。

这不就等价于 \(n\) 个小朋友分 \(m\) 个苹果吗？（在这里 \(n=x+1\)，\(m=K-cnt\)）。当然不保证 \(n\) 个小朋友每个都要分至少一个苹果。排列组合经典问题，\(n\) 个小朋友分 \(m\) 个苹果 $ \ = \ $ \(n+m\) 个小朋友分 \(m\) 个苹果且每个小朋友至少一个。

则答案为 \({C(}^{\ \ \ m-1}_{n+m-1})\)，在这里答案就为 \({C(}^{ \ \ \ \ \ \ \ x}_{K-cnt+x})\)。

参考代码：code