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基础模板

最长上升子序列1

模板题，定义 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的 LIS 长度。
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最长上升子序列2

数据范围变大了。思路后面补。
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最长上升子序列3

叫你输出序列。

定义 \(pre_i\) 表示让 \(dp_i\) 最大的 上一个数的编号。

判断里面加一句：\(pre[i]=j\)。

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最长公共子序列1

\(dp[i][j]\) 表示字符串 \(x\) 前 \(i\) 个和字符串 \(y\) 前 \(j\) 个的 LCS。

• 若 \(x[i]=y[j]\) ，\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1\).
• 否则：\(dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i][j-1])\).

最长公共子序列2

题目链接

关于为什么可以转化成 LIS 问题，这里提供一个解释。

A:3 2 1 4 5
B:1 2 3 4 5

我们不妨给它们重新标个号：把 \(3\) 标成a,把 \(2\) 标成b，把 \(1\) 标成c……于是变成：

A: a b c d e
B: c b a d e

这样标号之后，LCS 长度显然不会改变。但是出现了一个性质：

• 两个序列的子序列，一定是 A 的子序列。而 A 本身就是单调递增的。因此这个子序列是单调递增的。

换句话说，只要这个子序列在B中单调递增，它就是A的子序列。

哪个最长呢？当然是B的 LIS 最长。

所以只需要 \(O(n\log n)\) 求一个 LIS 即可。（具体见最长上升子序列2）

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