背包问题

假设有abcde5个物品，重量为w1...，价值为v1...，背包的承重量为c，怎么放的价值更高

 

一、0/1背包问题

5中物品只有一件，动态规划的子问题是前i个物品放在承重量为j的背包中，状态变量：dp[i][j]

遍历时i在外层，j在内层，也就是每次循环先求出前i-1个物品在不同载重量的情况下的自大价值

然后增加一个物品，也就是前i个物品。

而在求前i个物品的最大价值时根据前i-1的结果：

1.当前载重量<新增的第i件物品的重量w[i]，也就是装不下

dp[i][j] = dp[i-1][j]

2.装得下

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]):比较装和不装，其中如果装当前物品，那么重量占了w[i],前边i-1件物品只能使用j-w[i]的重量

到这里时间复杂度没法优化，但是还能优化空间复杂度

我们可以观察到，这里的i只是记录进行到前多少件物品了，其实我们不需要前几件的结果，我们需要的是最后的结果，所以我们没有必要记录

i的信息。可以用一个一维数组dp[j]只记录当前信息i件物品下，不同载重量的价值。然后每次都更新。更新到最后就是想要的

这里虽然不记录i的信息，但是还是要保留循环，代表这是前i件的情况，i不同的情况下，dp[j]是不同的。

注意这里需要倒着遍历，因为dp[j]会不断更新，前边更新的结果不能影响后边
如果从前边开始，前边的dp[j]就会更新为i的状态，i-1的状态就消失了，但是后边需要这些
如果从后边开始，前边的用不到后边的结果

public void p01(int[] w,int[] v,int c){
        int[] dp = new int[c+1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
//            注意这里需要倒着遍历，因为dp[j]会不断更新，前边更新的结果不能影响后边
//            如果从前边开始，前边的dp[j]就会更新为i的状态，i-1的状态就消失了，但是后边需要这些
//            如果从后边开始，前边的用不到后边的结果
            for (int j = c; j >=w[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }

2.完全背包问题

物品数量没有限制

public void pComplete(int[] w,int[] v,int c){
        int[] dp = new int[c+1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            //这里应该从前往后遍历，01背包不能从前往后的原因其实是如果当前承重量可以装下多件第i件物品时
            //01问题不能装多个，所以装完后要用前一次的状态比较（前一次肯定是没有装i的）
            //但是完全背包不同，装完后要用最新的状态比较，因为还可以继续装i
            for (int j = w[j]; j <=c; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }