CF1392H ZS Shuffles Cards 题解
CF1392H ZS Shuffles Cards
题意：有 \(n+m\) 张牌，其中前 \(n\) 张牌上分别标着 \(1,2,\cdots,n\) 的数字，后 \(m\) 张牌是鬼牌。现在我们打乱这些牌，然后开始抽牌游戏，每一轮你可以抽一张牌：
- 如果抽到了一张标有数字 \(x\) 的牌，就移除这张牌，并将 \(x\) 加入一个集合 \(S\) ；
- 如果抽到了鬼牌，就把移除的牌重新加入牌堆，再次打乱所有牌的顺序，重新开始抽牌。如果你抽到了鬼牌，并且集合 \(S\) 已经包括了 \([1,n]\) 中全部 \(n\) 个数，那么抽牌游戏结束。
询问抽牌游戏结束的期望轮数。
题解：我们设每次抽到一张鬼牌并重排牌序之前的抽卡流程为一次迭代，我们先求出这一次迭代的期望轮数，显然可以列出式子：
\[\begin{aligned}
E(x)&=1\times\frac{m}{n+m}+2\times\frac{n}{n+m}\frac{m}{n+m-1}+3\times\frac{n}{n+m}\frac{n-1}{n+m-1}\frac{m}{n+m-2}+\cdots \\
&=\sum^{n+1}_{i=1}i\times\frac{m}{n+m+1-i}\prod^{i-2}_{j=0}\frac{n-j}{n+m-j}
\end{aligned}
\]
直接计算这个式子的复杂度是 \(O(n^2\log n)\) ，显然不行，但是观察一下不难发现后面的连乘式子的重复率非常高，设 \(w_k=\prod^{k-2}_{j=0}\frac{n-j}{n+m-j}\) ，那么有递推式：
\[\begin{aligned}
w_{k+1}=\frac{n-k+1}{n+m-k+1}w_k
\end{aligned}
\]
因此我们可以 \(O(n\log n)\) 计算出这个期望：
\[E(x)=\sum^{n+1}_{i=1}\frac{im}{n+m+1-i}w_i
\]
然后我们考虑一共需要迭代几次才能使得集合中包含 \(1\) 到 \(n\) 中的所有数。我们设 \(f_k\) 表示还有 \(k\) 个不存在于集合中的数时，结束游戏还需要的期望迭代次数。由于我们有 \(\frac{m}{m+k}\) 的概率抽到鬼牌结束这一次迭代；也有可能是 \(\frac{k}{m+k}\) 抽到一张需要的牌，然后跳转到 \(k-1\) 的子问题，因此不难推出以下转移式：
\[\begin{aligned}
f_k&=\frac{m}{m+k}(f_k+1)+\frac{k}{m+k}f_{k-1} \\
\Leftrightarrow\ f_k&=f_{k-1}+\frac{m}{k}
\end{aligned}
\]
差分一下不难得到：\(f_n=f_1+\sum^n_{i=2}\frac{m}{i}\) ，因此我们现在只需要求出 \(f_1\) 的值，这实际上就是一个几何分布，直接求出期望为 \(\frac{1}{\frac{1}{m+1}}=m+1\) 。因此总共的期望迭代次数 \(f_n=m+1+\sum^n_{i=2}\frac{m}{i}=1+m\sum^n_{i=1}\frac{1}{i}\) 。
本题答案即每次迭代的期望轮数乘以总共的期望迭代次数：
\[\begin{aligned}
E_{total}=E(x)(1+m\sum^n_{i=1}\frac{1}{i})
\end{aligned}
\]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 直接声明 Mint 类即可调用
template <typename T>
T inverse(T a, T m) { // a % m 的逆元
T u = 0, v = 1;
while (a != 0) {
T t = m / a;
m -= t * a; swap(a, m);
u -= t * v; swap(u, v);
}
assert(m == 1);
return u;
}
template <typename T>
class Modular {
public:
using Type = typename decay<decltype(T::value)>::type;
constexpr Modular() : value() {}
template <typename U>
Modular(const U& x) {
value = normalize(x);
}
template <typename U>
static Type normalize(const U& x) {
Type v;
if (-mod() <= x && x < mod()) v = static_cast<Type>(x);
else v = static_cast<Type>(x % mod());
if (v < 0) v += mod();
return v;
}
const Type& operator()() const { return value; }
template <typename U>
explicit operator U() const { return static_cast<U>(value); }
constexpr static Type mod() { return T::value; }
Modular& operator+=(const Modular& other) { if ((value += other.value) >= mod()) value -= mod(); return *this; }
Modular& operator-=(const Modular& other) { if ((value -= other.value) < 0) value += mod(); return *this; }
template <typename U> Modular& operator+=(const U& other) { return *this += Modular(other); }
template <typename U> Modular& operator-=(const U& other) { return *this -= Modular(other); }
Modular& operator++() { return *this += 1; }
Modular& operator--() { return *this -= 1; }
Modular operator++(int) { Modular result(*this); *this += 1; return result; }
Modular operator--(int) { Modular result(*this); *this -= 1; return result; }
Modular operator-() const { return Modular(-value); }
template <typename U = T>
typename enable_if<is_same<typename Modular<U>::Type, int>::value, Modular>::type& operator*=(const Modular& rhs) { // 适配 32 位机需要添加以下代码
//#ifdef _WIN32
// uint64_t x = static_cast<int64_t>(value)* static_cast<int64_t>(rhs.value);
// uint32_t xh = static_cast<uint32_t>(x >> 32), xl = static_cast<uint32_t>(x), d, m;
// asm(
// "divl %4; \n\t"
// : "=a" (d), "=d" (m)
// : "d" (xh), "a" (xl), "r" (mod())
// );
// value = m;
//#else
value = normalize(static_cast<int64_t>(value)* static_cast<int64_t>(rhs.value));
//#endif
return *this;
}
template <typename U = T>
typename enable_if<is_same<typename Modular<U>::Type, int64_t>::value, Modular>::type& operator*=(const Modular& rhs) {
int64_t q = static_cast<int64_t>(static_cast<long double>(value)* rhs.value / mod());
value = normalize(value * rhs.value - q * mod());
return *this;
}
template <typename U = T>
typename enable_if<!is_integral<typename Modular<U>::Type>::value, Modular>::type& operator*=(const Modular& rhs) {
value = normalize(value * rhs.value);
return *this;
}
Modular& operator/=(const Modular& other) { return *this *= Modular(inverse(other.value, mod())); }
template <typename U>
friend bool operator==(const Modular<U>& lhs, const Modular<U>& rhs);
template <typename U>
friend bool operator<(const Modular<U>& lhs, const Modular<U>& rhs);
template <typename U>
friend std::istream& operator>>(std::istream& stream, Modular<U>& number);
private:
Type value;
};
template <typename T> bool operator==(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return lhs.value == rhs.value; }
template <typename T, typename U> bool operator==(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return lhs == Modular<T>(rhs); }
template <typename T, typename U> bool operator==(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) == rhs; }
template <typename T> bool operator!=(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return !(lhs == rhs); }
template <typename T, typename U> bool operator!=(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return !(lhs == rhs); }
template <typename T, typename U> bool operator!=(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return !(lhs == rhs); }
template <typename T> bool operator<(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return lhs.value < rhs.value; }
template <typename T> Modular<T> operator+(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) += rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator+(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) += rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator+(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) += rhs; }
template <typename T> Modular<T> operator-(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) -= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator-(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) -= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator-(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) -= rhs; }
template <typename T> Modular<T> operator*(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) *= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator*(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) *= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator*(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) *= rhs; }
template <typename T> Modular<T> operator/(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) /= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator/(const Modular<T>& lhs, U rhs) { return Modular<T>(lhs) /= rhs; }
template <typename T, typename U> Modular<T> operator/(U lhs, const Modular<T>& rhs) { return Modular<T>(lhs) /= rhs; }
template<typename T, typename U>
Modular<T> powmod(const Modular<T>& a, const U& b) {
assert(b >= 0);
Modular<T> x = a, res = 1;
U p = b;
while (p > 0) {
if (p & 1) res *= x;
x *= x;
p >>= 1;
}
return res;
}
template <typename T>
string to_string(const Modular<T>& number) {
return to_string(number());
}
template <typename T>
std::ostream& operator<<(std::ostream& stream, const Modular<T>& number) {
return stream << number();
}
template <typename T>
std::istream& operator>>(std::istream& stream, Modular<T>& number) {
typename common_type<typename Modular<T>::Type, int64_t>::type x;
stream >> x;
number.value = Modular<T>::normalize(x);
return stream;
}
/*
using ModType = int;
struct VarMod { static ModType value; };
ModType VarMod::value;
ModType& md = VarMod::value;
using Mint = Modular<VarMod>;
*/
constexpr int md = 998244353; // Mint类模数
using Mint = Modular<std::integral_constant<decay<decltype(md)>::type, md>>;
// 多模数的情况可以声明多个 Mint 例如 using Mint1, Mint2, ...
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
Mint m, n;
cin >> n >> m;
Mint res = 0, pre = 1;
for (int i = 1; i <= (int)n + 1; i++) {
Mint tmp = i / (n + m - i + 1);
if (i > 1) pre *= (n - i + 2) / (n + m - i + 2);
tmp *= pre;
res += tmp;
}
res *= m;
Mint h = 0;
for (Mint i = 1; i != (n + 1); i++)
h += 1 / i;
h = h * m + 1;
cout << res * h;
return 0;
}
实际上本题的第一部分期望还可以优化：
\[\begin{aligned}
E(x)&=1\times\frac{m}{n+m}+2\times\frac{n}{n+m}\frac{m}{n+m-1}+3\times\frac{n}{n+m}\frac{n-1}{n+m-1}\frac{m}{n+m-2}+\cdots \\
&=\sum^{n+1}_{i=1}i\times\frac{m}{n+m+1-i}\prod^{i-2}_{j=0}\frac{n-j}{n+m-j} \\
&=\frac{n}{m+1}+1
\end{aligned}
\]
简单解释：你可以直接变换出来。事实上，我们考虑对于任意一张数字牌而言，拿出它的概率都是 \(\frac{1}{m+1}\) ，根据期望线性性质直接累加得到 \(\frac{n}{m+1}\) ，最后再花费一回合抽出一张鬼牌，即期望为 \(\frac{n}{m+1}+1\) 。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Mint类太长省略了
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
Mint m, n;
cin >> n >> m;
Mint ans = (n + m + 1) / (m + 1);
Mint h = 0;
for (Mint i = 1; i != (n + 1); i++)
h += Mint(1) / i;
h = h * m + 1;
cout << ans * h;
return 0;
}
