概率期望总结

前言：

今天在看冯巨的期望总结，不得不说期望题就是妙！！

代码短短十几行，但思路却千奇百怪！！

今天就做一下总结（实际上题都没有做完）。

1. 期望公式：

对于互不相容的事件B，一个随机事件A：

$$P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)*P(A|B_i)$$

期望公式：

$$E(A)=\sum_ip_xx_i$$

全期望公式：

$$E(Y)=E(E(Y|X))=\sum_iP(X==x_i)E(Y|X==x_i)$$

先来一个例子：
抛一个骰子，问抛到6的期望次数：
设$X_k$为第K次抛到6的概率，那么$Ans=\sum_iX_k*k$

好的接下来就是一些例题了：

1.[SHOI2002]百事世界杯之旅

分析：
一道经典的期望题，我们考虑使用期望DP；（但是输出毒瘤）
f[i]表示得到i个瓶盖的期望次数。

$$f[i+1]=f[i]+\frac{n}{n-i}$$

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
	if(b==0){
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b);
}
int p=1,q=1;
int n;
int dis(int x){
	int temp=x;
	int cnt=0;
	while(temp){
		temp/=10;
		cnt++;
	}
	return cnt;
}
signed main()
{
	
		scanf("%lld",&n);
		p=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			int fm=(n-i+1)*q;
			int fz1=p*(n-i+1);
			int fz2=n*q;
			int fz=fz1+fz2;
			int g=gcd(fz,fm);
			fz/=g,fm/=g;
			p=fz;
			q=fm;
		}
		//cout<<p<<' '<<q<<endl;
		int gg=p/q;
		int mother=q;
		int son=p%q;
		if(mother==1){
			cout<<gg<<endl;
		}else{
			for(int i=1;i<=dis(gg);i++){
				cout<<' ';
			}
			cout<<son<<endl;
			if(gg) cout<<gg;
			for(int i=1;i<=dis(mother);i++){
				cout<<'-';
			}
			cout<<endl;
			for(int i=1;i<=dis(gg);i++){
				cout<<' ';
			}
			cout<<mother<<endl;
		}
	
	
	
	return 0;
}

2.绿豆蛙的归宿

分析：
很好的一道入门题，把期望和图论结合起来了。
由于终点确定我们考虑倒推，建反边，跑一边拓扑排序。
设f[x]是从x到n的期望长度， $$f[y]+=(f[x]+w[i])/de[y]$$
注意这里是y的入度，也就是从y会走这条路径的概率。
这里也给出顺推的方程：
g[x]是从1到i的概率

$$f[y]+=(f[x]+w[i]/g[x])/out[x]$$

倒推：

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int head[100001],to[200001],nxt[200001];
double w[200001];
int cnt;
int de[100001],in[100001];
void add(int u,int v,int z){
	nxt[++cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
	to[cnt]=v;
	w[cnt]=z;
}
queue<int> q;
double f[100001];
void topo()
{
	q.push(n);
	f[n]=0.0;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
			int v=to[i];
			f[v]+=(double)(w[i]+f[u])/(double)in[v];
			if(!(--de[v])) q.push(v);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		add(v,u,w);
		in[u]++;
		de[u]++;
	}
	topo();
	printf("%.2lf\n",f[1]);
	return 0;
} 

顺推：

点击查看代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXX=100010;
int oud[MAXX],ind[MAXX],ver[MAXX<<1],nxt[MAXX<<1],head[MAXX],edge[MAXX<<1];
double dp[MAXX],g[MAXX];
int tot,n,m;
inline void add(int x,int y,int z){
	ver[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	edge[tot]=z;
	oud[x]++;
	ind[y]++;
}
inline void topsort(){
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!ind[i])q.push(i);
	dp[1]=0.000;
    g[1]=1.000;
	while(q.size()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int y=ver[i];
            dp[y]+=(dp[x]*g[x]+(double)edge[i]*g[x])/(double)oud[x];
            g[y]+=g[x]/(double)oud[x];
            if(--ind[y]==0)q.push(y);
		} 
	}
}
int main(){
   cin>>n>>m;
   for(int i=1;i<=m;++i){
   	int x,y,z;
   	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
   	add(x,y,z);
   }
   topsort();
   printf("%.2lf",dp[n]);
   return 0;
}

3.[WOJ3010] 骰子

思路：

$$f[i][j] 表示投了i次，和为j的次数,由f[i-1][j-k]转移而来，1\le k \le6$$

加上所有大于$k$的$j$的$f[i][j]$

然后除以$6^n$算出概率.

注意特殊情况的判断。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int dp[1001][1000];
int n,kk;
int gcd(int a,int b){
	if(b==0){
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b);
}
signed main()
{
	cin>>n>>kk;
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i*6;j++){
			for(int k=1;k<=6;k++) {
				if(j-k>=0)dp[i][j]+=dp[i-1][j-k];
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=kk;i<=n*6;i++){
		ans+=dp[n][i];
	}
 	int tmp=pow(6,n);
  	int g=gcd(ans,tmp);
	if(ans==0){
		printf("0\n");
		return 0;
	}
    ans/=g;
    tmp/=g;
	if(ans==1&&tmp==1){
		printf("1\n");
		return 0;
	}else cout<<ans<<'/'<<tmp<<endl;
	
	return 0;
}

好的，先总结到这里了。后面的题我会专门写题解。