数据结构（六）查找---平衡二叉树（ASL）
前提
我们之前的二叉排序树的插入（构建）是按照我们输入的数据来进行的，若是我们的数据分布不同，那么就会构造不同的二叉树
{ 62, 88, 58, 47, 35, 73, 51, 99, 37, 93 }
{ 35, 37, 47, 51, 58, 62, 73, 88, 93, 99 }
我们发现若是数组元素分布大小按顺序，那么我们极有可能得到一颗极不平衡的二叉树，而二叉树深度越大，查找的次数越多，其查找时间复杂度可以高达O(n),那么如何构造一颗平衡的二叉树？
平衡二叉树
一：定义
平衡：
左右均匀
平衡因子：
将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF(Balance Factor) BF=hl-hr
平衡二叉树（AVL树）：
是一种二叉排序树
空树或任一结点左右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF|<=1
最小不平衡子树
距离插入结点最近的，且平衡因子绝对值大于1的结点为根 的子树，我们称为最小不平衡子树
二：平衡二叉树实现原理
基本思想
在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保存二叉排序树的前提下，调整最小不平衡子树中各个结点之间的链接更新，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树
二叉排序树构建过程
{3,2,1,4,5,6,10,9,8,7}
我们若是按照二叉排序树进行构建 图一
虽然会符合二叉排序树的定义，但是高度达到8的二叉树，查找不好，效率不高，我们应该尽可能是二叉排序树保持平衡，比如图二
开始构建平衡二叉树AVL
1.选取第一个数据元素3，按照二叉排序树方法正常构建数据，树的平衡因子为0，符合平衡
2.选取第二个数据元素2，按照二叉排序树方法正常构建数据，树的平衡因子为1，符合平衡
3.选取第三个数据元素1，按照二叉排序树方法构建数据位置，树的根节点平衡因子为2，不符合平衡要求，我们找到最小不平衡子树，进行旋转
注意：平衡因子为正数，则右转，为负数，则左转
4.选取第四个数据元素4，按照二叉排序树方法正常构建数据，树的平衡因子没改变，符合平衡
5.选取第五个数据元素5，按照二叉排序树方法正常构建数据，结点3的BF变为-2，说明要进行旋转，我们找到最小不平衡子树，进行旋转
负数，左旋
6.选取第六个数据元素6，按照二叉排序树方法正常构建数据，发现结点2的BF变为-2，说明要进行旋转，而且是左旋
注意：此时本来结点3是结点4的左孩子，由于旋转后，需要满足二叉排序树图像，因此我们将他变为结点2的右孩子
7.选取第七个数据元素7，按照二叉排序树方法正常构建数据，发现结点5的BF变为-2，所以需要对这个最小不平衡子树进行左旋
8.选取第八个数据元素10，按照二叉排序树方法正常构建数据，树的平衡因子没改变，符合平衡
9.选取第八个数据元素9，按照二叉排序树方法正常构建数据，发现结点7的BF值为-2，我们需要进行旋转
注意：因为我们的结点7的BF=-2，而他的子结点10的BF是1，对于两个符号不统一的最小不平衡子树，
我们都应该先让其符号相同，所以先对我们的最小不平衡子树的子树结点10和结点9安装其结点10的BF=1，正数，先进行两个结点的右旋，
然后再对整个不平衡子树按照结点7的BF=-2进行左旋
10.选取第九个数据元素8，按照二叉排序树方法正常构建数据，发现结点6的BF=-2，而且最小不平衡子树的符号不统一
我们先对最小不平衡子树的子树进行旋转，使得其符号统一，按照结点9的BF=1，进行右旋
使最小不平衡子树符号相同，然后我们根据结点6的BF=-2，进行左旋
最后将所有的数据排序完成！！！
三：平衡二叉树的难点
1.我们需要知道每个结点的BF值，应该从哪得知？
所以我们要在结构体中加入平衡因子数据域
typedef struct _BiTNode { ElemType data; int bf; struct _BiTNode* lchild, *rchild; }BiTNode,*BiTree;
2.我们如何动态修改每个结点的BF值？
（1）我们需要知道，我们插入一个结点，只会影响到该结点到根节点的路径上的结点的BF值，是不会影响到其他结点的BF值
（2）我们插入一个新的结点，那么这个新的结点的BF值一定是0（可以看上图）
（3）我们对一个最小不平衡子树做了平衡处理后，会发现我们只对这个最小不平衡子树的BF进行了改变，而对于这棵树中的其他结点的BF值，虽然变换当中会改变，但是变化后和原来是一样的。
下面我们对添加新结点前，添加后，树平衡调整后的BF值进行观察
这里不在最小平衡子树中的点有0,1结点，开始和结束后其BF都没有变化
这里不在最小平衡子树中的点有1结点，开始和结束后其BF都没有变化
这里不在最小平衡子树中的点有1,2,3,4结点，开始和结束后其BF都没有变化
这里不在最小平衡子树中的点有1,2,3,4,5,6结点，开始和结束后其BF都没有变化
总之：我们在考虑树的结点的BF值时，我们只需要考虑我们的最小不平衡子树的结点的BF值即可。
（4）同3注意：我们还发现，除了 参与旋转的三个结点，在最小不平衡子树的其他结点的BF值也不会改变
LL型
LR型
RR和RL型相同
所以：我们只需要考虑的结点是最小不平衡子树的3个旋转结点即可
（5）通过上面分析：我们只需要考虑3个结点的BF值变化即可，但是具体变化方式是不是有规律的？
LL型
插入结点时的变化，我们应该将BL的BF值修改，原来是0，插入子节点后变为1
做了平衡旋转后，我们应该将最小不平衡子树的根节点A和左子树根节点B变为0
LR型（我们这里只考虑插入在双亲结点左侧：分多种情况，要根据第三个结点再次进行分析）
首先是T指向新插入的C结点的双亲BR由原来的0变为1，再向上走T等于其双亲，原来也是0，但是这里是右转所以由0变为-1，之后转到A结点，发现是左转，原来BF值是1，直接进入左旋转平衡
左旋转平衡，根据LR判断，若是为1，我们将最小不平衡子树根T置为-1，L和LR结点设为0
分为这三种情况（想吐）....RR和RL同上面分析。
四：代码实现
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 typedef int Status; typedef int ElemType; typedef struct _BiTNode { ElemType data; int bf; struct _BiTNode* lchild, *rchild; }BiTNode,*BiTree; //右旋操作 /* 对以p为根节点的二叉排序树进行右旋操作 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根节点 */ void R_Rotate(BiTree *p) { BiTree L; L = (*p)->lchild; (*p)->lchild = L->rchild; L->rchild = (*p); *p = L; } //左旋操作 /* 对以p为根节点的二叉排序树进行左旋操作 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根节点 */ void L_Rotate(BiTree *p) { BiTree R; R = (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); *p = R; } #define LH +1 //左高 #define EH 0 //等高 #define RH -1 //右高 //左平衡旋转处理代码 //其中传入的T都是最小不平衡子树的根节点 //我们在旋转时主要关注的BF值就是最小不平衡子树的根节点BF和根节点下面的子节点BF值 void LeftBalance(BiTree *T) //左平衡。我们主要考虑LL,LR两种 { BiTree L,Lr; L = (*T)->lchild; switch (L->bf) //由于已经是要做平衡处理，所以L->bf不会出现EH状态 { case LH: //LL直接右旋即可,注意LL后的结点平衡后都是0 (*T)->bf = L->bf = EH; //所有的BF跳转都是基于旋转之前的提前调整，方便些 R_Rotate(T); break; case RH: //LR旋转，我们需要注意先要左旋，然后右旋 //在左右旋之前，我们要修改BF值 Lr = L->rchild; //Lr指向T的左孩子的右子树 switch (Lr->bf) { /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */ case LH: (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH: (*T)->bf = EH; L->bf = EH; break; case RH: (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild);/* 对T的左子树作左旋平衡处理 */ R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */ break; } } /* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */ void RightBalance(BiTree* T) { BiTree R, Rl; R = (*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */ switch (R->bf) {/* 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */ case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */ (*T)->bf = R->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH:/* 新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */ Rl = R->lchild;/* Rl指向T的右孩子的左子树根 */ switch (Rl->bf) { case RH: (*T)->bf = LH; R->bf = EH; break; case EH: (*T)->bf = EH; R->bf = EH; break; case LH: (*T)->bf = EH; R->bf = RH; break; } Rl->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild);/* 对T的右子树作右旋平衡处理 */ L_Rotate(T); break; } } /* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */ /* 数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ /* 失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */ Status InsertAVL(BiTree* T, int e, Status *taller) { if (!*T) { //插入新结点 *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH; *taller = TRUE; } else { if (e==(*T)->data) { //树中已经存在和e有相同的关键字的结点则不再插入 *taller = FALSE; return FALSE; } else if (e<(*T)->data) { //应该继续在T的左子树中进行搜索 if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) //未插入 return FALSE; if (*taller) //已插入到T的左子树中，且左子树长高 { switch ((*T)->bf) //检测T树的平衡度 { case LH: //原来是其父节点T的BF值为1，现在插入左孩子，其BF值变为2，直接进行左平衡处理 LeftBalance(T); *taller = FALSE; break; case EH: //原来左右子树等高，现因左子树增高而树增高 (*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break; case RH: //原来右子树比左子树高，现在左右等高 (*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break; } } } else { //去右子树搜索 if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) //未插入 return FALSE; if (*taller) //已插入到T的左子树中，且左子树长高 { switch ((*T)->bf) //检测T树的平衡度 { case LH: //原来左子树比右子树高，现在左右等高 (*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break; case EH: //原来左右子树等高，现因右子树增高而树增高 (*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break; case RH: //原来右子树比左子树高，现在高了两个度，BF=2，需要进行右平衡旋转 RightBalance(T); *taller = FALSE; break; } } } } return TRUE; } int main() { int i; int a[10] = { 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8 }; BiTree T = NULL; Status taller; for (i = 0; i < 10;i++) { InsertAVL(&T, a[i], &taller); } system("pause"); return 0; }
五：反思
不太熟练，需要多联系，等我把这些都复习一遍，在做题的时候会进行更多的查漏补缺，而且上面缺少删除部分代码，在我真正理解后，会补上
