数据结构（五）图---图的基本概念
一：图的定义
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
在图中的数据元素，我们称之为顶点（Vertex），顶点集合有穷非空。在图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
顶点：
线性表中我们把数据元素叫元素，树中数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点
边：
线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树中，相邻两层的结点中具有层次关系，图中任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示
二：有向图和无向图
图按照边的有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边组成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分，带箭头一端为弧头。
无向边：
若顶点v1到v2之间的边没有方向，就是无向边，使用(v1,v2)表示
有向边：
若顶点v1到顶点v2的边有方向，则称这条边为有向边，又称为弧，使用<v1,v2>表示，其中v1为弧尾，v2为弧头,v1--->v2,有向边的两个顶点不能交换
三：简单图
图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。
我们讨论的都是简单图
四：无向完全图和有向完全图
无向完全图
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。有n个顶点的完全无向图有n(n-1)/2 条边
有向完全图
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称改图为有向完全图。含有n*(n-1)条边
五：稀疏图和稠密图
按照边或弧的多少来分稀疏图和稠密图。大于n*logn为稠密图，反之为稀疏图
六：网（网络）
有些图的边或弧具有与他相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网(Network)
七：子图
假设有两个图G= (V，{E})和G'= (V'，{E'})，如果V'是V的子集，且E'是E的子集，则称G'为G的子图。如下图带底纹的图均为左侧无向图与有向图的子图。
八：图的顶点和边之间的关系
（一）度
无向图的度
对于无向图G= (V,{E})， 如果边(v,v')属于E， 则称顶点v和v‘互为邻接点，即v和v'相邻接、边(v,v')依附于顶点v和v'，或者说(v,v')与顶点v和v'相关联。
顶点v的度是和v相关联的边的数目，记为TD(v)。
如上图左侧上方的无向图，顶点A与B 互为邻接点，边(A，B) 依附于顶点A 与B 上，顶点A 的度为3。
而此图的边数是5，各个顶点度的和=3+2+3+2=10，
推敲后发现，边数其实就是各顶点度数和的一半，多出的一半是因为重复两次计数。
有向图的度
对于有向图G= (V,{E})，如果弧<v,v'>属于E，则称顶点v邻接到顶点v'，顶点v'邻接自顶点v的弧<v,v'>和顶点v， v'相关联。
以顶点v为头的弧的数自称为v的入度 ，记为ID (v); 以v为尾的弧的数目称为v的出度，记为OD (v); 顶点v的度为TD(v) =ID(v) +OD (v)。
上图 左侧下方的有向图，顶点A的入度是2 (从B到A的弧，从C到A的弧)，出度是1 (从A到D的弧)，所以顶点A 的度为2+1=3。此有向图的弧有4 条，而各顶点的出度和=1+2+1+0=4，各顶点的入度和=2+0+1+1=4。
（二）路径
路径的长度是路径上的边或弧的数目
第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环
序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环
九：连通图
连通图（无向图）
在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的。
如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。
下图的图1，它的顶点A到顶点B、 C、 D都是连通的，但显然顶点A与顶点E或F就无路径，因此不能算是连通图。而图2，顶点A、 B、 C、D相互都是连通的，所以它本身是连通图。
连通分量
无向图中的极大连通子图称为连通分量。
连通分量需要满足：
1.要是子图；
2.子图要是连通的；
3.连通子图含有极大顶点数；
4.具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。
上图中，图1是一个无向非连通图。 但是有两个连通分量，即图2和图3。
而图4，尽管是图1的子图，但是它却不满足连通子图的极大顶点数(图2满足)。 因此它不是图1的无向图的连通分量。
强连通图（有向图）
在有向图G中，如果对于每一对vi、vj，vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。
有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。强
连通图具有如下定理：一个有向图G是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。
图一不是强连通图，图二是强连通图。
图二是图一的强连通分量
十：连通图的生成树
所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图， 它含有图中全部的n 个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
比如下图的图1是一连通图，但显然它不是生成树，当去掉两条构成环的边后，比如图2 或图3，就满足n个顶点n-1条边且连通的定义了， 它们都是一棵生成树。
从这里也可知道，如果一个图有n 个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果多于n-1 边条，必定构成一个环， 因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。比如图2 和图3，随便加哪两顶点的边都将构成环。
不过有n-1条边并不一定是生成树，比如图4。
十一：有向图的生成森林
如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。
对有向树的理解比较容易，所谓入度为0其实就相当于树中的根结点， 其余顶点入度为1就是说树的非根结点的双亲只有一个。
一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成， 含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。
如下图的图1 是一棵有向图。去掉一些弧后，它可以分解为两棵有向树，如图2和图3，这两棵就是图1有向图的生成森林。
十二：术语总结
