机器学习作业---偏差和方差（线性回归）错误反例，但是理清了代码思路，很重要
重点思考排错：关于高级优化算法scipy.optimize.minimize
（一）代价函数和梯度求解
在代价函数和梯度求解中，我们要多次用到矩阵乘法。
1.numpy.matrix（不推荐）
所以一开始，我使用了numpy.matrix()方法，将我传入的θ、X、y等向量（是numpy.ndarray数组类型)，全部转换为matrix类型，进行矩阵运算
但是在使用过程中，发现编译器并不推荐使用该方法，因为：
1.我们需要将传入的参数进行转换，降低了效率
2.如果一个程序里面既有matrix 又有array，会让人脑袋大。但是如果只用array，你不仅可以实现matrix所有的功能，还减少了编程和阅读的麻烦。
2.numpy.ndarray+@---解决部分问题，但是使用的方法有点问题
在使用过程中，我发现对于numpy.ndarray类型数据，如果要进行矩阵运算，那么数组必须是二维数组[[]]
这里我经常用@将ndarray进行矩阵运算
但是在使用过程中，发现一个错误用法。就是我们如果对于一个ndarray类型数据，是一维数组，那么似乎矩阵运算并不能按照我们的想法进行：
1.比如进行转置T操作：
2.比如进行矩阵乘法操作：
可以看到，虽然结果是一样的，但是返回的分别是二维和一维数组。而且我们对一维数组的转置，存在部分疑问？因为转置后还是行向量显示，结果却是按照列向量计算
3.numpy.ndarray+dot点乘处理，避免2中问题
当我们传入两个一维数组时：
是进行点乘处理的。
当我们传入一个二维和一维数组时：---两个向量必须同维度（得到的结果是矩阵乘积）
总结：推荐使用第三种用法---其中另一个原因看下面
（二）高级优化算法scipy.optimize.minimize解析
调用：
scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)
参数：
fun ：优化的目标函数
x0 ：初值，一维数组，shape (n,)
args ： 元组，可选，额外传递给优化函数的参数
method：求解的算法，选择TNC则和fmin_tnc()类似
jac：返回梯度向量的函数
返回：
返回优化结果对象，x：优化问题的目标数组。success: True表示成功与否，不成功会给出失败信息。
注意重点：
1.我们返回的参数θ向量就是返回的优化结果对象x。
2.我们返回的优化结果对象x是一个numpy.ndarray类型的一维数组，所以我们可以认为，在我们中间进行计算过程中：
我们使用梯度求解函数求解出来的θ参数向量也应该是一个一维数组，同时在优化函数中会将梯度求解结果作为参数传入到代价函数中，求解代价误差。所以在中间黑盒过程中，默认传递的就是一维数组（上面参数中说明了，因为我们传入的θ向量默认是放入x0中）。所以对于我们写的求解代价函数，传入的θ参数也应该是一维数组。
3.我们只提供了一个x0和args参数，所以我们要保证我们的fun传入的代价函数和jac传入的梯度求解函数的参数保持一致
4.我们可以使用一个函数，返回梯度和代价误差，只需要设置jac=True即可
minimize(fun=backporp,x0=theta_param,args=(input_size,hidden_size,num_labels,X,y_onehot,1),method='TNC',jac=True,options={'maxiter':250})
（三）补充fmin_tnc()
有约束的多元函数问题，提供梯度信息，使用截断牛顿法。
调用：
scipy.optimize.fmin_tnc(func, x0, fprime=None, args=(), approx_grad=0, bounds=None, epsilon=1e-08, scale=None, offset=None, messages=15, maxCGit=-1, maxfun=None, eta=-1, stepmx=0, accuracy=0, fmin=0, ftol=-1, xtol=-1, pgtol=-1, rescale=-1, disp=None, callback=None)
最常使用的参数：
func：优化的目标函数
x0：初值
fprime：提供优化函数func的梯度函数，不然优化函数func必须返回函数值和梯度，或者设置approx_grad=True
approx_grad :如果设置为True，会给出近似梯度
args：元组，是传递给优化函数的参数
返回：
x ： 数组，返回的优化问题目标值
nfeval ： 整数，function evaluations的数目
在进行优化的时候，每当目标优化函数被调用一次，就算一个function evaluation。在一次迭代过程中会有多次function evaluation。这个参数不等同于迭代次数，而往往大于迭代次数。
rc ： int,Return code, see below
一：方差、偏差问题回顾
（一）高偏差（欠拟合）
1.当m较小时：比如m=1,这是完全拟合，所以训练误差从0开始。当逐渐增大样本数量，训练误差逐渐增大。同样，当m较小时，验证误差最大，当m逐渐增大，则验证误差减小。
2.当我们增大样本容量时：对于这组数据这是拟合得最好得直线，当我们增大样本容量后，直线拟合得越来越好---即J_cv逐渐减小
总结：
训练误差一开始也是很小的，而在高偏差的情况下，你会发现训练集误差会逐渐增大，最后接近交叉验证误差
（二）高方差（过拟合）
1.训练误差---当训练样本越多的时候，就越难把训练集数据拟合得更好。但总的来说训练集误差还是很小得
2.交叉验证误差---过拟合下（泛化能力很差），验证误差将会一直很大，尽管随着样本增大，但是总的来说还是很大
其特点是：在训练误差和交叉验证误差之间有一段很大的差距。
当我们增大样本数量时，训练误差会增大，而验证误差会减少。所以高方差下，增大样本数量还是有用的。
（三）简单总结
训练集误差和交叉验证集误差近似时：偏差/欠拟合
交叉验证集误差远大于训练集误差时：方差/过拟合
二：正则化和方差、偏差
（一）当我们设置入较大时
比如入=1000，这时θ_1,...,θ_m都将受到很大的惩罚。所以θ_1,...,θ_m几乎都等于0.这时H_θ(x)≈θ_0
因此这个假设处于高偏差，对数据集严重欠拟合。
（二）设置入较小时
与之对应的另一种情况是，如果我们的lambda值很小，比如说lambda的值等于0的时候，在这种情况下，如果我们要拟合一个高阶多项式的话，那么此时我们通常会处于过拟合的情况。
（三）合适大小入
只有当我们取一个中间大小的，既不大也不小的lambda值时，我们才会得到一组合理的，对数据刚好拟合的theta参数值
（四）总结
• 当入较小时，训练集误差较小（过拟合）而交叉验证集误差较大--高方差
• 随着入的增加，训练集误差不断增加（欠拟合），而交叉验证集误差则是先减小后增加---高偏差
注意：训练集误差是指内部数据集与模型的拟合程度（所以当入小的时候，模型虽然是过拟合，但是与原来训练集的拟合程度还是不错的），验证集误差是指新的数据集与原始模型的平均误差平方和（当入过小或者过大，都会导致误差太大）。
三：数据加载、显示----后面可能都有问题
（一）代码实现数据加载、显示
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.io as sio
import scipy.optimize as opt
data = sio.loadmat("ex5data1.mat")
X = data['X']
y = data['y']
Xval = data['Xval']
yval = data['yval']
Xtest = data['Xtest']
ytest = data['ytest']
plt.figure()
plt.scatter(X,y,c='r',marker='o')
plt.xlabel("Change in water level (x)")
plt.ylabel("Water flowing out of the dam (y)")
plt.show()
（二）数据展示
print("X.shape X")
print(X.shape)
print(X)
print("y.shape y")
print(y.shape)
print(y)
print("----------------------")
X.shape X
(12, 1)
[[-15.93675813]
[-29.15297922]
[ 36.18954863]
[ 37.49218733]
[-48.05882945]
[ -8.94145794]
[ 15.30779289]
[-34.70626581]
[ 1.38915437]
[-44.38375985]
[ 7.01350208]
[ 22.76274892]]
----------------------
y.shape y
(12, 1)
[[ 2.13431051]
[ 1.17325668]
[34.35910918]
[36.83795516]
[ 2.80896507]
[ 2.12107248]
[14.71026831]
[ 2.61418439]
[ 3.74017167]
[ 3.73169131]
[ 7.62765885]
[22.7524283 ]]
print("----------------------")
print("Xval.shape yval.shape")
print(Xval.shape,yval.shape)
print("----------------------")
print("Xtest.shape ytest.shape")
print(Xtest.shape,ytest.shape)
二：正则化线性回归代价函数
（一）代价函数
def reg_cost(theta,X,y,lamda=1):
m = X.shape[0]
return 1/(2*m)*np.sum(np.power(X@theta.T-y,2))+lamda/(2*m)*np.sum(np.power(theta,2))
cost = reg_cost(theta,X,y,0)
print(cost)
（二）正则化梯度求解----主要出错地点
def reg_gradient(theta,X,y,lamda=1):
m = X.shape[0]
error = X@theta.T-y
theta_grad = error.T@X/m
theta_grad[0,1:] += theta[0,1:]*lamda/m
return theta_grad
grad = reg_gradient(theta,X,y,0)
print(grad)
grad = reg_gradient(theta,X,y,1)
print(grad)
三：高级优化算法求解参数
#导入数据
data = sio.loadmat("ex5data1.mat")
X = data['X']
y = data['y']
Xval = data['Xval']
yval = data['yval']
Xtest = data['Xtest']
ytest = data['ytest']
theta = np.array([np.ones(2)])
X = np.c_[np.ones(X.shape[0]),X]
res = opt.minimize(fun=reg_cost,x0=theta,args=(X,y,1),method="TNC",jac=reg_gradient,options={'disp':True})
theta_new = res.get('x')
plt.figure()
plt.scatter(X[:,1],y,c='b',marker='o')
plt.plot(X[:,1],X[:,1]*theta_new[1]+theta_new[0])
plt.xlabel("Change in water level (x)")
plt.ylabel("Water flowing out of the dam (y)")
plt.show()
这里就已经出错了，最后求解的参数向量不对！！！
四：绘制学习曲线---开始明显出错（只要出现错误是在梯度求解函数中）
注意：
1.使用训练集的子集来拟合数据--获取本次循环最优参数
2.在计算训练代价（误差）和交叉验证代价（误差）时，不需要使用正则化
3.使用相同的验证集自己来计算训练代价
（一）获取训练误差和验证误差
def learning_curve(X,y,Xval,yval,lamda):
m = X.shape[0]
#训练集误差和验证集误差
error_train = np.zeros(m)
error_val = np.zeros(m)
#从一个训练样本开始逐个增加
for i in range(m):
X_temp = X[:i+1,:] #获取新的临时训练样本集---注意事项1
y_temp = y[:i+1,:]
#获取当前训练集样本下的最优参数θ向量
res = opt.minimize(fun=reg_cost,x0=theta,args=(X_temp,y_temp,lamda),method="TNC",jac=reg_gradient,options={'disp':False})
#根据上面获得的最优参数向量，我们获取训练集误差---注意：训练集误差的数据集来自于我们新的训练集
theta = np.array([res.x])
error_train[i] = reg_cost(theta,X_temp,y_temp,lamda)
#验证集误差，数据集来自于全部验证集
error_val[i] = reg_cost(theta,Xval,yval,lamda) #每次都是将所有验证集进行计算误差----注意事项3
return error_train,error_val
#绘制学习曲线
error_train,error_val = learning_curve(X,y,Xval,yval,0) #设置lamda为0，不进行正则化处理---注意事项2
print("error_train:\n",error_train)
print("error_val:\n",error_val)
（二）绘制学习曲线
#绘制学习曲线 error_train,error_val = learning_curve(X,y,Xval,yval,0) plt.figure() plt.plot(np.arange(X.shape[0]),error_train,np.arange(X.shape[0]),error_val) plt.title("Learning Curve for linear regression") plt.xlabel("Number of Training Examples") plt.ylabel("Error") plt.legend(['Train','Cross Validation']) plt.show()
这里就发现了，和我们真正要展示的学习曲线有所差异：
