# 二分图-最大独立集
二分图-最大独立集
最大独立集:选出最多的点,使得选出的点之间没有边
在二分图中:
求最大独立集 (n-m个点)
\(\Leftrightarrow\)去掉最少的点,将所有的边都破坏掉(m个点)
\(\Leftrightarrow\)找最小点覆盖(m个点)
\(\Leftrightarrow\)找最大匹配(m个点)
给定一个 N*M 的棋盘,有一些格子禁止放棋子。
问棋盘上最多能放多少个不能互相攻击的骑士(国际象棋的“骑士”,类似于中国象棋的“马”,按照“日”字攻击,但没有中国象棋“别马腿”的规则)。
输入格式
第一行包含三个整数N,M,T,其中T表示禁止放置的格子的数量。
接下来T行每行包含两个整数x和y,表示位于第x行第y列的格子禁止放置,行列数从1开始。
输出格式
输出一个整数表示结果。
数据范围
1≤N,M≤100
思路
首先通过画图可以发现,一个棋盘可以实现二分图染色,并且对于一个棋子,它本身所在的位置和下一步能走到的位置处于不同的颜色(奇偶性不同),所以这个棋盘是一个二分图。
对于每一个位置,在该位置和下一步能走到的位置之间建边,问最多放置多少不会相互攻击的棋子等价于在图中求最大独立集。
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
int n, m, k;
PII match[N][N];
bool g[N][N], st[N][N];
int dx[8] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
int dy[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
bool find(int x, int y)
{
for (int i = 0; i < 8; i ++ )
{
int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
if (a < 1 || a > n || b < 1 || b > m) continue;
if (g[a][b]) continue;
if (st[a][b]) continue;
st[a][b] = true;
PII t = match[a][b];
if (t.x == 0 || find(t.x, t.y))
{
match[a][b] = {x, y};
return true;
}
}
return false;
}
int main()
{
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 0; i < k; i ++ )
{
int x, y;
cin >> x >> y;
g[x][y] = true;
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
{
if (g[i][j] || (i + j) % 2) continue;
memset(st, 0, sizeof st);
if (find(i, j)) res ++ ;
}
cout << n * m - k - res << endl;
return 0;
}