# 素数筛法

素数筛法

目录

优化版埃氏筛法（调和级数+质数定理=NloglogN）

质数定理：1-n中有\(\frac{n}{\ln n}\)个质数

优化后的筛法可以减少大量的重复筛，只需要将质数的倍数筛掉（算术基本定理（正整数的唯一分解定理）：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。）但是仍然无法做到所有数只筛一次。
\(例如：3*35=7*15=105，\\ i=3时，\\ j=3*3\\ j=3*3+3*2 \\ j=3*3+3*2+3*2=3*3+3*4\\ .......\\ j=3*3+3*32=3*35\\ \\ ------------------\\ 当i=7时\\ j=7*7\\ j=7*7+7*2\\ ............\\ j=7*7+7*8=7*15\\ 此处重复筛了105这个数\)

bool primer[N];//[0,N],合数值为1，素数为0,素数定义为大于1的自然数中
void find_primer(int N){
    int sqr=sqrt(N);
    
    for(int i=4;i<N;i+=2)primer[i]=1;//2的倍数标记为合数

    for(int i=2;i<=sqr;i++){
        if(!primer[i])
            for(int j=i*i;i<=N;j+=i*2)//j从i*i开始，i*(k)（k=2,3,,,,(i-1)）已经被(k)筛过了,
                primer[j]=1;           //i(素数)和j都为奇数，j+i为偶数，故为j+2i;
    }
}

欧拉筛法（O(N) 最小质因子的应用）

每个合数有一个最小质因子，只被最小质因子筛去过一次，故为线性时间。

假设primer[j]简写为pj；

\(i \% primer[j]==0\)时，由于primer[]是按从小到大的顺序排列的，碰到的第一个质数就是最小质因子。此时应该break跳出循环，若继续筛下去，下一个数为：
\(i*primer[j+1]\\=k*primer[j]*primer[j+1]\\primer[j]*i'\)

会在当\(i\)过更大的时候筛去。

bool vis[N];//标记非素数，
int primer[N];//存素数
int cnt=0;//记录素数个数，
void find_primer(int N){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i])primer[cnt++]=i;
        
        for(int j=0;j<cnt&&primer[j]*i<=N;j++){
            vis[i*primer[j]]=1;//筛

            if(i%primer[j]==0)break;//关键！！！
           //primer[j]是i的最小质因子（i=k*primer[j]），那么不用筛i*primer[j]了
           //i*primer[j+1] = (k*primer[j+1]) * primer[j],这个数的最小质因子是primer[j]
           //这个数会在后面当i更大的时候被i * primer[j]筛掉。
        }
    }
}

欧拉筛法打表观察：

for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
    cout<<" i = "<<i<<endl;
    if (!visit[i]) 
        prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数
    
    for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {        
        cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;
        
        visit[i*prime[j]] = 1;
        
        if (i % prime[j] == 0) break;
    }
}

i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8*3 = 2*4*3 = 2*12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。

posted @ 2020-01-28 14:15  yhsmer  阅读(230)  评论(0)    收藏  举报