bzoj4709: [Jsoi2011]柠檬 斜率优化

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bzoj4709: [Jsoi2011]柠檬

题解

斜率优化
设 \(f[i]\) 表示前 \(i\)个数分成若干段的最大总价值。
对于分成的每一段，左端点的数、右端点的数、选择的数一定是相同的。如果不相同则可以从这个段里删去这个数，答案会更优。
于是就有转移：\(f_i=f_{j-1}+a·(c_i-c_j+1)^2\ ,\ j\le i\ ,\ a_j=a_i\) ，其中 \(a\) 表示原序列，\(c\) 表示这个位置时这个数第几次出现
显然这个式子可以斜率优化，整理得：$ac_i 2(c_j - 1) + f_i - a c_i^2 = f_{j-1} + a·(c_j-1)^2 $ ，那么 \(y\) 是 \(f_{j-1}+a (c_j-1)^2\) ，\(k\) 就是 \(ac_i\) ，\(x\) 是 \(2(c_j-1)\) ，\(b\) 是 \(f_i-ac_i^2\) .
这里 \(k\) 单调递增，\(x\) 递增，求\(b\)的最大值，
直接对于每个a_i维护上凸壳。在凸壳上二分。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

#include<vector> 
#include<cstdio> 
#include<algorithm> 
#define gc getchar() 
#define pc putchar 
inline int read() {
	int x = 0,f = 1; 
	char c = gc;  
	while(c < '0' || c > '9') c = gc; 
	while(c <= '9' && c >= '0') x = x * 10 + c - '0',c = gc; 
	return x * f; 
} 
#define LL long long 
void print(LL x) {
	if(x >= 10) print(x / 10); 
	pc(x % 10 + '0'); 
} 
#define y(i) (f[i - 1] + a[i] * squ(c[i] - 1)) 
#define x(i) 2 * (c [i] - 1) 
inline LL squ(LL x) { 
	return x * x; 
} 
const int maxn = 1000007; 
std::vector<int>v[maxn]; 
LL f[maxn],a[maxn],c[maxn],cnt[maxn] ; 
int main() { 
	int n = read(); 
	for(int i = 1;i <= n;++ i) {
		a[i] = read(); 
		c[i] = ++ cnt[a[i]]; 
		int t; 
		while((t = v[a[i]].size() - 1) > 0 && 
		(x(i) - x(v[a[i]][t])) * (y(v[a[i]][t - 1]) - y(v[a[i]][t])) 
		
	  - (y(i) - y(v[a[i]][t])) * (x(v[a[i]][t - 1]) - x(v[a[i]][t])) 
		
		> 0) v[a[i]].pop_back(); 
		v[a[i]].push_back(i); 
		int l = 1,r = v[a[i]].size() - 1,ans = 0; 
		while(l <= r) { 
			int mid = l + r >> 1; 
			if(f[v[a[i]][mid] - 1] + a[i] * squ(c[i] - c[v[a[i]][mid]] + 1) > 
			f[v[a[i]][mid - 1] - 1] + a[i] * squ(c[i] - c[v[a[i]][mid - 1]] + 1)) 
				ans = mid,l = mid + 1; 
			else r = mid - 1; 
		} 
		f[i] = f[v[a[i]][ans] - 1] + a[i] * squ(c[i] - c[v[a[i]][ans]] + 1); 
	} 
	print(f[n]); 
	return 0; 
}  
/* 
5
2 2 5 2 3
*/