bzoj4001: [TJOI2015]概率论
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题解
生成函数+求导
设\(g(n)\)表示有\(n\)个节点的二叉树的个数,\(g(0) = 1\)
设\(f(x)\)表示\(n\)个节点的二叉树叶子节点的个数，\(f_0 = 0,f_1 = 1\)
那么\(ans = \frac{f_i}{g_i}\)
对于\(g_i\)
考虑有一颗\(n\)个点的二叉树,由于左右字数都是二叉树,枚举左右子树的点数
\[g_n = \sum_{i = 0}^{n - 1}g_ig_{n - i - 1}
\]
这就是卡特兰数，通项为\(\frac{C_{2n}^{n}}{n + 1}\)
对于\(f_i\)
枚举左右子树的大小，我们可以有\(g\)函数推出,由于左右对称，最后\(*2\)
\[f_n = 2\sum_{i = 0}^{n - 1}f_i*g_{n - i - 1}
\]
我们要找到\(f\)与\(h\)的关系
另\(G(x)\)为\(g\)的生成函数，\(F(x)\)为\(f\)的生成函数
\[G(x) = x G^2(x) + 1,F(x) = 2xF(x)G(x) + x
\]
对于\(G(x)\)他的封闭形式为\(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\),(对于另外一根\(\sqrt{1-4x}\)展开后每一项都是是负的,而卡特兰数不是,舍去)
对\(F(x)\)得到\(F(x) = x * (1 - 4x)^{-\frac{1}{2}}\)
\[(xG(x))'=\frac 1{\sqrt{1-4x}}=\frac{F(x)}x
\]
\(xG(x)\)的每一项\(xg_nx^n = g_nx^{n +1}\)求导后变为\((n + 1)g_nx^n\),也就等于等式右边的\(\frac{f_{n + 1}x^{n + 1}}{x} = f_{n + 1}x^n\) 也就是说\(f_{n + 1} = (n+1)g_n\)即\(f_n=ng_{n-1}\)
带入\(g_n =\frac{C_{2n}^{n}}{n + 1}\)
化简得到
\[ans =\frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}
\]
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
int x = 0,f = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9')c = getchar();
while(c <= '9' && c >= '0')x = x * 10 + c - '0',c = getchar();
return x * f;
}
const int maxn = 1000005;
const int INF = 0x7fffffff;
int main() {
double n;
cin >> n;
printf("%.9lf\n",n * (n + 1.0) / (4 * n -2));
return 0;
}
