about乘法逆元

本博客部分摘自   hwim

定义

乘法逆元的定义：若存在正整数a,b,p, 满足ab = 1(mod p), 则称a 是b 的乘法逆元, 或称b 是a 的乘法逆元。b ≡ a^-1 (mod p)，a ≡ b^-1 (mod p)

比如说, 在模7 意义下,3 的乘法逆元是5, 也可以说模7 意义下5的乘法逆元是3。模13意义下5的逆元是8

存在性

和同余方程很相似，在同余方程中

ab ≡ 1(mod p)

若a 与p 互质, 则一定存在一个正整数解b, 满足b < p，若a 与p 不互质, 则一定不存在正整数解b.

所以逆元要求a与p互质

求法

求逆元有三种求法，

1、扩展欧几里得

扩展欧几里得可以用来求这样的一组解的：ax+by = gcd(a,b)，求x和y

逆元，求这样的一个解：ax ≡ 1 (mod b)，

我们变一下式子

ax+by = gcd(a,b)，变成 ax+by = c 求一个数等于c

ax ≡ 1 (mod b)，变成 ax-by = 1 如果将y看成负的，ax+by = 1

那么，就可以用exgcd求了。

code：

#include<cstdio>

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return r;
}

int main()
{
    //gcd(a,p)==1
    int a,p,r,x,y;
    while (scanf("%d%d",&a,&p)!=EOF)
    {
        r = exgcd(a,p,x,y);
        printf("%d",(x%p+p)%p);
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得求逆元

2、线性求逆元

ab = 1(mod p)，求b

p%a = p-(p/a)*a;c++向下取整

那么(p/a)*a = p-(p%a);

(p/a)*a = -(p%a);在模p意义下p可以约掉

a = -(p%a)/(p/a);换一下位置

a^-1 = -(p%a)^-1*(p/a);

a^-1可以用(p%a)^-1推出，所以就可以用递推式来推出1到a的所有数的逆元。

code

求一个数的逆元

int INV(int a)//线性求a的逆元 
{   
    if(a==1) return 1; 
    return ((-(p/a)*INV(p%a))%p);
}

 

求1-n的逆元

int inv[MAXN]; 
void INV(int a,int p)
{
    inv[1] = 1;
    for (int i=2; i<=a; ++i)
        inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p; 
}

 

3、欧拉函数求逆元

欧拉定理：a^φ(p) ≡ 1(mod p)（不会证，逃

对于任意互质的a,p 恒成立。

欧拉定理用来求逆元用的是欧拉定理的一个推论
a*a^φ(p)-1 ≡ 1(mod p)

仔细观察，a*b ≡ 1(mod p)，在这里的b不就是上面的a^φ(p)-1吗？，所以求出a^φ(p)-1就好了。

所以我们用快速幂就可以求出乘法逆元了。

这个方法它需要多算一个欧拉函数，代码这里不再给出。

这里给出求欧拉函数O(根n)的做法

不懂欧拉的戳这里11101001

int getphi(int x){
    int ret=1;
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=x;i++){
        if(x%prime[i]==0)
        {
            ret*=prime[i]-1;
            x/=prime[i];
            while(x%prime[i]==0)
            x/=prime[i],ret*=prime[i];
        }
    }
    if(x>1) ret*=x-1;
    return ret;
}

 

应用

我们知道(a+b)%p = (a%p+b%p)%p

　　　　(a*b)%p = (a%p)*(b%p)%p

求(a/b)%p时，可能会因为a是一个很大的数，不能直接算出来，也无法像上面一样分解。

我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，k ≡ b^-1 (mod p) ，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

然后这就成了求a*k%p，然后就可以用那两个公式了。