关于费马小定理以及逆元

对于正整数a和m，如果有ax=1（modm），那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得(exgcd)算法来求得，如果m为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。（都要求a和m互质）

 

求a/b=x(mod M）

只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M)，只能来以乘换除。
费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)
于是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)
于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)

求a/b=x(mod M)

 

用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a*b1(mod M)

 

exgcd(b,M,x,y);   b1=x;

 

当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

证明：

设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

 

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1

 

 

 

详见      -》blog；

int init()  
{  
    inv[1] = 1;  
    for(int i=2;i<N;i++)  
        inv[i]=(MOD-MOD/i)*1ll*inv[MOD%i]%MOD;  
}