关于数论的整理

一丶扩展欧几里得算法

 

欧几里得算法是 辗转相除法？一种求两个数的最大公约数的算法：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

在这里不详细展开讲，直接给出代码

int gcd(int a,int b){
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

那么来说扩展欧几里得：

找出一对数对（x，y），是的ax+by=gcd(a,b)

∵gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 欧几里得定理

∴ax1 + by1 = bx2+ （a%b）y2

∵在整除意义下，a%b=a-（a/b）*b

∴ax1 + by1 = bx2 + [a-（a/b）*b] y2

∴ax1 + by1 = bx2 + a* y2 - b*（a/b)*y2  右边展开

∴ax1 + by1 = ay2 + b*[x2 - (a/b) *y2] 右边合并同类项

根据恒等定理得，x1 = y2 ，y1 = x2 - （a/b）y2

所以问题就变得简单了，使用递归求解

边界条件：gcd（a，0）= 1 * a - 0 * 0 = a

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(b==0){d=a;a=1;y=0;}
    else 
    {
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}

（若x为方程解，则x≡y（modn）的其他整数y也是方程解）

二、同余方程

 

定理1  若gcd（a，b）=d，则一定能找出一组（x，y），满足ax+by=d

证明：叫裴蜀定理？

设存在x,y使ax+by=d,d是ax+by取值中的最小正整数,d≠1.再设am+bn=e,则e≥d .若d不整除e,对e做带余除法.必定存在p,r使e=pd+r

所以d一定能写成ax+by的形式。

a = b*q1 + r1

b=  r1*q2+ r2

r1= r2*q3+r3

……

r1=q-b*q1

r2=b-r1*q2

r3=r1-r2*q3

……

定理2  若gcd（a，b）=1，则方程ax≡c（mod b） 在[0,b-1]上有唯一解

定理3  若gcd（a，b）=d，则方程ax≡c（mod b） 在[0,b/d-1]上有唯一解

来看这么一道题：同余方程

noip 2012 提高组 同余方程 http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1265

ax≡b（modn）

可以看出 a-b是n的整数倍

那么设这个倍数为y

则ax-b=n*y

移项得ax-ny=b（不定方程 a，n，b为已知量，x，y为未知量）

给出代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long modd(long long m,long long n,long long &x,long long &y) 
{
    if(!n) 
    {
        x=1;
        y=0;
        return m;
    } 
    else 
    {
        long long r=modd(n,m%n,x,y);
        long long t=x;
        x=y;
        y=t-m/n*y;
        return r;
    }
}

int main() {
    long long n,m,x,y;
    cin>>m>>n;
    long long  gcd=modd(m,n,x,y);
    while(x<0)x+=n/gcd;
    cout<<x;
    return 0;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

 

三丶筛法求素数

用筛法构造素数表

思想：对不超过n的非负整数a，删除2a，3a，4a..........，当处理完所数后没有被筛去的就是素数。

用数组 vis[i]表示，若vis[i]=1,表示已被筛去，i不是素数，=0表i是素数。

memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
  for(int j=i*2;j<=n;j+=i) {vis[j]=1;}

时间复杂度为O(nlogn)

改进：可以把a限定为素数；在两个for中间加一个if（！vis[i])

外层循环循环到sqrt（n）+0.5就好，因为n的倍数都能用 根n 得到 +0.5防止向下取整数

内层循环中的j=i*2可以改成i*i，因为i*2已经在i=2时筛掉了

下边是代码

memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[1]=1;
for(int i=2;i<=sqrt(n)+0.5;i++)
  if(!vis[i])
  for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
  {
      vis[j]=1;
  }

#include <iostream>
using namespace std;

const int MD = 1e9 + 7;

int pow(int n, int m) 
{
    if(m == 0) return 1;
    
    int t = pow(n, m / 2);
    
    t = 1LL * t * t % MD;
    if(m&1) t = 1LL * t * n % MD;
    
    return t;
}

int pow2(int n, int m)
{
    int r(1), s(n);
    for(; m; m>>=1, s = 1LL*s*s%MD) 
        if(m&1) r = 1LL*r*s%MD;
    return r;
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cout << pow(n, m) << endl;
    cout << pow2(n, m) << endl;
    return 0;
}

 

模板：

 

三丶 斐波那契数列

通项公式：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    double x=sqrt(5.0);
    int ans=( pow ( ( ( 1+x ) / 2.0 ) , n ) / x - pow ( ( ( 1 - x ) / 2.0 ), n ) /x);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

四丶求二元一次不定方程

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int x,y;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    return a;
    else 
    return gcd(b,a%b);
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return r;
}
int main()
{
    int a,b,c;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    int y=gcd(a,b);
    if(c%y!=0)
    {
        printf("-1");
        return 0;
    }
    else exgcd(a,b,x,y);
    while(x<0)
    {
        x=x+b;
        y=y+b;
    }
    x*=c;
    printf("%d %d",x,y);
    return 0;
}

 

五丶快速幂

下面是从别人博客找的，自己就懒得写了http:快速幂

快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。

　　首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

a^11=a^(2^0+2^1+2　　11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) 

，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。

　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >>  

　　&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。

　　>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上  面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。

 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int fastpow(int a,int b)
{
    int r=1;
    int step=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2!=0)
        r=r*step;
        step=step*step;
        b=b/2;
    }
    return r;
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int ans=fastpow(a,b);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

六丶排列数

（1）基本排列

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int f(int n)
{
    if(n==0)return 1;
    else return n*f(n-1);
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d",f(a)/f(a-b));
    return 0;
}

 

 

（2）全排列

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int f(int n)
{
    if(n==0)return 1;
    else return n*f(n-1);
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d",f(a));
    return 0;
}

 

 

（3）圆排列

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int f(int n)
{
    if(n==0)return 1;
    else return n*f(n-1);
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d",f(a)/(f(a-b)*b));
    return 0;
}

 

（4）项链排列

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int f(int n)
{
    if(n==0)return 1;
    else return n*f(n-1);
}
int main()
{
    int a;
    scanf("%d",&a);
    if(a==1||a==2)printf("1");
    else printf("%d",f(a-1)/2);
    return 0;
}

 

七丶组合数