隐马尔科夫模型(HMM) 举例讲解
什么问题用HMM解决
现实生活中有这样一类随机现象，在已知现在情况的条件下，未来时刻的情况只与现在有关，而与遥远的过去并无直接关系。
比如天气预测，如果我们知道“晴天，多云，雨天”之间的转换概率，那么如果今天是晴天，我们就可以推断出明天是各种天气的概率，接着后天的天气可以由明天的进行计算。这类问题可以用 Markov 模型来描述。
进一步，如果我们并不知道今天的天气属于什么状况，我们只知道今明后三天的水藻的干燥湿润状态，因为水藻的状态和天气有关，我们想要通过水藻来推测这三天的真正的天气会是什么，这个时候就用 Hidden Markov 模型来描述。
HMM 模型的本质是从观察的参数中获取隐含的参数信息，并且前后之间的特征会存在部分的依赖影响。
我们从如何进行中文分词的角度来理解HMM
根据可观察状态的序列找到一个最可能的隐藏状态序列
中文分词，就是给一个汉语句子作为输入，以“BEMS”组成的序列串作为输出，然后再进行切词，进而得到输入句子的划分。其中，B代表该字是词语中的起始字，M代表是词语中的中间字，E代表是词语中的结束字，S则代表是单字成词。
例如：给个句子
小明硕士毕业于中国科学院计算所
得到BEMS组成的序列为
BEBEBMEBEBMEBES
因为句尾只可能是E或者S，所以得到切词方式为
BE/BE/BME/BE/BME/BE/S
进而得到中文句子的切词方式为
小明/硕士/毕业于/中国/科学院/计算/所
这是个HMM问题，因为你想要得到的是每个字的位置，但是看到的只是这些汉字，需要通过汉字来推出每个字在词语中的位置，并且每个字属于什么状态还和它之前的字有关。
此时，我们需要根据可观察状态的序列找到一个最可能的隐藏状态序列。
五元组，三类问题，两个假设
五元组
通过上面的例子，我们可以知道 HMM 有以下5个要素。
观测序列－O：小明硕士毕业于中国科学院计算所
状态序列－S：BEBEBMEBEBMEBES
初始状态概率向量－π：句子的第一个字属于{B,E,M,S}这四种状态的概率
状态转移概率矩阵－A：如果前一个字位置是B，那么后一个字位置为BEMS的概率各是多少
观测概率矩阵－B：在状态B的条件下，观察值为耀的概率，取对数后是-10.460
备注：示例数值是对概率值取对数之后的结果，为了将概率相乘的计算变成对数相加，其中-3.14e+100作为负无穷，也就是对应的概率值是0
三类问题
当通过五元组中某些已知条件来求未知时，就得到HMM的三类问题：
- 似然度问题：参数(O，π，A，B)已知的情况下，求(π，A，B)下观测序列O出现的概率。(Forward-backward算法)
- 解码问题：参数(O，π，A，B)已知的情况下，求解状态值序列S。(viterbi算法)
- 学习问题：参数(O)已知的情况下，求解(π，A，B)。(Baum-Welch算法)
中文分词这个例子属于第二个问题，即解码问题。
我们希望找到 s_1,s_2,s_3,... 使 P (s_1,s_2,s_3,...|o_1,o_2,o_3....) 达到最大。
意思是，当我们观测到语音信号 o_1,o_2,o_3,... 时，我们要根据这组信号推测出发送的句子 s_1,s_2,s_3,....，显然，我们应该在所有可能的句子中找最有可能性的一个。
两个假设
利用贝叶斯公式得到：
这里需要用到两个假设来进一步简化上述公式
有限历史性假设: si 只由 si-1 决定
独立输出假设：第 i 时刻的接收信号 oi 只由发送信号 si 决定
有了上面的假设，就可以利用算法 Viterbi 找出目标概率的最大值。
Viterbi算法
根据动态规划原理，最优路径具有这样的特性：如果最优路径从结点 i_{t}^* 到终点 i_{T}^，那么这两点之间的所有可能的部分路径必须是最优的。
依据这一原理，我们只需从时刻 t=1 开始，递推地计算在时刻 t 状态为 i 的各条部分路径的最大概率，直至得到时刻 t=T 状态为 i 的各条路径的最大概率 P^，最优路径的终结点 i_{T}^* 也同时得到。之后，为了找出最优路径的各个结点，从终结点 i_{T}^* 开始，由后向前逐步求得结点 i_{T-1}*...，i_{1}，进而得到最优路径 I^＝i_{1}*...，i_{T}*，这就是维特比算法.
举个栗子：
观测序列 O＝(红，白，红)，想要求状态序列S。
需要定义两个变量:
- weight[3][3]，行3是状态数(1，2，3)，列3是观察值个数(红，白，红)。意思是，在时刻 t 状态为 i 的所有单个路径中的概率最大值。
- path[3][3]，意思是，在时刻 t 状态为 i 的所有单个路径中概率最大的那条路径，它的第 t-1 个结点是什么。比如 path[0][2]=1, 则代表 weight[0][2] 取到最大时，前一个时刻的状态是 1.
1.初始化
t＝1 时的红，分别是在状态 1，2，3 的条件下观察得来的概率计算如下：
此时 path 的第一列全是 0.
2.递归
t＝2 时的白，如果此时是在 1 的条件下观察得来的话，先计算此时状态最可能是由前一时刻的哪个状态转换而来的，取这个最大值，再乘以 1 条件下观测到 白 的概率，同时记录 path矩阵：如下图 weight[0][1]=0.028，此值来源于前一时刻状态是3，所以，
3.终止
在 t＝3 时的最大概率 P^＝0.0147，相应的最优路径的终点是 i_3^=3.
4.回溯
由最优路径的终点 3 开始，向前找到之前时刻的最优点：
-
在 t＝2 时，因 i_3^=3，状态 3 的最大概率 P＝0.0147，来源于状态 3，所以 i_2^=3.
-
在 t＝1 时，因 i_2^=3，状态 3 的最大概率 P＝0.042，来源于状态 3，所以 i_1^=3.
最后得到最优路径为 I*＝(i_{1}，i_{2}^，i_{3}^*)＝(3,3,3)
用Viterbi算法求解中文分词问题
根据上面讲的 HMM 和 Viterbi，接下来对中文分词这个问题，构造五元组并用算法进行求解。
InitStatus：π
TransProbMatrix：A
EmitProbMatrix：B
Viterbi求解
经过这个算法后，会得到两个矩阵 weight 和 path：
二维数组 weight[4][15]，4是状态数(0:B,1:E,2:M,3:S)，15是输入句子的字数。比如 weight[0][2] 代表 状态B的条件下，出现'硕'这个字的可能性。
二维数组 path[4][15]，4是状态数(0:B,1:E,2:M,3:S)，15是输入句子的字数。比如 path[0][2] 代表 weight[0][2]取到最大时，前一个字的状态，比如 path[0][2] = 1, 则代表 weight[0][2]取到最大时，前一个字(也就是明)的状态是E。记录前一个字的状态是为了使用viterbi算法计算完整个 weight[4][15] 之后，能对输入句子从右向左地回溯回来，找出对应的状态序列。
先对 weight 进行初始化，
使用 InitStatus 和 EmitProbMatrix 对 weight 二维数组进行初始化。
由 EmitProbMatrix 可以得出
所以可以初始化 weight[i][0] 的值如下：
注意上式计算的时候是相加而不是相乘，因为之前取过对数的原因。
然后遍历找到 weight 每项的最大值，同时记录了相应的 path
//遍历句子，下标i从1开始是因为刚才初始化的时候已经对0初始化结束了
for(size_t i = 1; i < 15; i++)
{
// 遍历可能的状态
for(size_t j = 0; j < 4; j++)
{
weight[j][i] = MIN_DOUBLE;
path[j][i] = -1;
//遍历前一个字可能的状态
for(size_t k = 0; k < 4; k++)
{
double tmp = weight[k][i-1] + _transProb[k][j] + _emitProb[j][sentence[i]];
if(tmp > weight[j][i]) // 找出最大的weight[j][i]值
{
weight[j][i] = tmp;
path[j][i] = k;
}
}
}
}
如此遍历下来，weight[4][15] 和 path[4][15] 就都计算完毕。
确定边界条件和路径回溯
边界条件如下：
对于每个句子，最后一个字的状态只可能是 E 或者 S，不可能是 M 或者 B。
所以在本文的例子中我们只需要比较 weight[1(E)][14] 和 weight[3(S)][14] 的大小即可。
在本例中：
weight[1][14] = -102.492;
weight[3][14] = -101.632;
所以 S > E，也就是对于路径回溯的起点是 path[3][14]。
进行回溯，得到序列
SEBEMBEBEMBEBEB。
再进行倒序，得到
BEBEBMEBEBMEBES
接着进行切词得到
BE/BE/BME/BE/BME/BE/S
最终就找到了分词的方式
小明/硕士/毕业于/中国/科学院/计算/所
HMM还有哪些应用
HMM不只用于中文分词，如果把 S 换成句子，O 换成语音信号，就变成了语音识别问题，如果把 S 换成中文，O 换成英文，就变成了翻译问题，如果把 S 换成文字，O 换成图像，就变成了文字识别问题，此外还有词性标注等等问题。
对于上述每种问题，只要知道了五元组中的三个参数矩阵，就可以应用 Viterbi 算法得到结果。
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