生成函数GeneratingFunction

生成函数GeneratingFunction

极限

$\forall \rightarrow$对于
$\exists \rightarrow$存在
极限:$\forall \epsilon,\exists N,N>n,|a_n-A|<\epsilon$
就是说，对于所有(任意小的非负整数)$\epsilon$存在$N$,使得$a_n$与A的差值小于$\epsilon$
我们就把$A$叫做此序列的极限$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=A$

有限数列没有极限！

若数列中的值全部相同的也没有极限！

$\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}的极限是0$

$\{1,0,0,0,0,0,...\}$的极限是0

导数

To be continued:D

泰勒公式

To be continued:D

生成函数

如何简短的表示一个序列呢？
$\left\{1,1,1,1,1,1,1,...\right\}$
我们以一多项式来表达，以x的指数为下标，系数为值，就可以得到
$A=\left\{1*x^0,1*x^1,1*x^2,1*x^3,...\right\}$
即
$A=\left\{1,x,x^2,x^3,...\right\}$
注意，这个序列的长度是无限的

$$\because A=1+x+x^2+x^3+...\\ \therefore x*A=x+x^2+x^3+...\\ \therefore (1-x)A=1\\ \therefore A=\frac{1}{1-x}$$

$\frac{1}{1-x}$就是生成这个序列的函数,也就是说，它就是生成函数

类似的，可以得到:

$$\frac{2}{1-x}=2,2,2,2,2,2...\\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...=1,-1,1,-1,...\\ \frac{1}{1-2x}=1+2x+4x^2+8x^3...=1,2,4,8,...\\ $$

当然，生成函数支持加法和乘法(上面已经有例子了)

$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{1-x^2}\\ 1,1,1,1,...+1,-1,1,-1,...=2,0,2,0,...\\ \frac{1}{1-x^2}=1,0,1,0,...\\ \frac{x}{1-x^2}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}=0,1,0,1,...\\ $$

还有

$$令A=1+3x+5x^2+7x^3+...\\ \therefore xA=1x+3x^2+...\\ \therefore (1-x)A=1+2x+2x^2+...\\ \because \frac{2}{1-x}=2+2x^2+...\\ \therefore \frac{2x}{1-x}=2x+2x^2+...\\ \therefore 1+\frac{2x}{1-x}=1+2x+2x^2+...\\ \therefore (1-x)A=1+\frac{2x}{1-x}\\ \therefore A=\frac{1+\frac{2x}{1-x}}{1-x}=\frac{1+x}{(1-x)^2}\\ $$

$$令B=1+4x+9x^2+16x^3+25x^5+...\\ \therefore xB=1x+4x^2+9x^3+...\\ \therefore (1-x)B=1+3x+5x^2+...\\ \therefore (1-x)B=A=\frac{1+x}{(1-x)^2}\\ \therefore (1-x)B=\frac{1+x}{(1-x)^3}$$

如何生成有限数列呢？

$$\because A=1,x,x^2,x^3,...\\ \therefore x^4A=x^4+x^5+x^6+...\\ \therefore (1-x^4)A=1+x+x^2+x^3\\ 又\because A=\frac{1}{1-x}\\ \therefore (1-x^4)\times\frac{1}{1-x}=\frac{1-x^4}{1-x}=1+x+x^2+x^3$$

如果对生成函数求导会如何？

$$(\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^4+...\\ (\frac{1}{1-x})''=\frac{1}{(1-x)^3}=1+3x+6x^2+10x^4+15x^5+...$$

这里旨在于告诉你很多数列均可以用生成函数表示

此外的

$$F=1+1x+2x^2+3x^3+5x^4+...\\ \therefore F=\frac{1}{1-x-x^2}\\ 对于方程1-x-x^2=0\\ 解得x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 用配方法倒推得1-x-x^2=(1-x_1)\times(1-x_2)\\ 设F=\frac{1}{1-x-x^2}=\frac{a}{1-x_1}+\frac{b}{1-x_2}\\ ...\\ To be continued:D$$

当然，普通生成函数的用处不止于此

有一些水果，求选苹果偶数个，选梨5的倍数个，橘不超过4个，桃最多一个，求选共n个水果的方案数

这咋办？还好，我们有生成函数!

众所周知，普通生成函数的乘积就是组合数(你又知道？)
我们让i次项系数作为组合数

$$C=A+B=\sum_{n=0}^\infty(a_i+b_i)x_n \rightarrow 加法原则\\ C=A\times B=\sum_{n=0}^\infty\sum_{i=0}^{n}(a_i*b_{(n-i)})x_n\\ c_n=\sum_{i=0}^{n}(a_i*b_{(n-i)})x_n \rightarrow 乘法原则$$

故得$i$次项系数即为相加为i的生成函数的所有方案数

苹果的生成函数:$1+x^2+x^4+x^6+...=\frac{1}{1-x^2}$
梨:$1+x^5+x^{10}+...=\frac{1}{1-x^5}$
橘:$1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{1-x^5}{1-x}$
桃:$1+x=\frac{1-x^2}{1-x}$
相乘求组合，$\frac{1}{1-x^2}\times\frac{1}{1-x^5}\times\frac{1-x^5}{1-x}\times\frac{1-x^2}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$
发现恰为$1+2x+3x^2+4x^4+...$所以输出n即可
6!

但是，并不是所有题目都如此凑巧，我们还得算$(1+x^2+x^4+x^6+...)\times(1+x^5+x^{10}+...)\times ...$

所以，我们将给出一个模板，旨在于做$\uparrow$上面的小乘法

//这里是一个用背包装物品的模板

c1[0]=1,l1=0;
//x[i]-->物品大小
//y[i]-->物品个数
for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历物品
{
    l2 = l1 + x[i] * y[i];//预计的最高次数
    memset(c2, 0, sizeof(int) * (l2 + 1));//清空
    for (int j = 0; j <= y[i] && j * x[i] <= l2; j++)
        //当然，如果物品无限多不需要判断j <= y[i]
        for (int k = 0; k <= l1 && j * x[i] + k <= l2; k++)
            c2[j * x[i] + k] += c1[k];
    memcpy(c1, c2, sizeof(int) * (l2 + 1));//储存计算结果
    l1 = l2;
}
//最后，c1[n]表示装满大小k的背包的方案数

其实，看到这你也能发现，它可以用背包实现，但与背包相比，生成函数可快多了
普通生成函数只能解决组合问题！！！

指数生成函数

普通生成函数只能解决组合问题!!!

但是指数生成函数可以解决排列问题:D

To be continued:D