[SDOI2008]沙拉公主的困惑

求\(1\sim n!\)中与\(m!\)互质的数的个数。\(m\leq n\leq 10^7\).

显然\(m!|n!\)。根据GCD的性质，\((a,b)=(a+b,b)\)，则\((a,m!)=(a+m!,m!)\)。于是每\(m!\)分一组，易得

\[ans=\sum_{i=1}^{n!}[(i,m!)=1]\\ =\frac{n!}{m!}\varphi(m!)=n!\prod\frac{p_i-1}{p_i},p_i\leq m \]

然后。就被开心地卡常了。

逆元要写递推的，而且还要避免多次取模。见代码。

循环尽量别合并。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e7+5;

int t,r,n,m;
int vis[N],p[N/10],lp;
void sieve(int k){
    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=k;i++){
        if(!vis[i])p[++lp]=i;
        for(int j=1;j<=lp;j++){
            if(i*p[j]>k)break;
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int fac[N],inv[N],fp[N];//fac phi
int main(){
    scanf("%d%d",&t,&r);

    sieve(1e7);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=10000000;i++)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%r;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)inv[i]=(1ll*(r-r/i)*inv[r%i]%r);
    fp[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++){
        fp[i]=fp[i-1];
        if(vis[i]==0)fp[i]=1ll*fp[i]*(i-1)%r*inv[i]%r;
    }

    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",1ll*fac[n]*fp[m]%r);
    }
    return 0;
}