[LG4016] 负载平衡问题

题意

在网络流 24 题中隐藏的环形均分纸牌问题

分析

考虑普通均分纸牌问题

第 \(i\) 个人有 \(a_i\) 张牌，总牌数为 \(sum=\sum_{i=1}^na_i\)，均分下来的牌数为 \(T=\frac{sum}{n}\).

于是每个人与平均值的差为 \(d_i= T-a_i\). 如果要让 \(a_i\) 变成 \(T\)，就让 \(a_i+=d_i,a_{i+1}-=d_i\).

所以令 \(s_i=\sum_{j=1}^id_j\)，表示第 \(i\) 个人的吞吐量，那么让前 \(k\) 个人变成 \(T\) 的分牌次数为 \(\sum_{i=1}^k|s_i|\).

这是一个定值

考虑环形均分

环形中，必存在 \(k\in[1,n],a_k\leq T,a_{(k+1)\bmod n}\geq T\).

因此前者从前面获得纸牌，后者向后面推送纸牌

于是破环为链计算即可

于是双倍一下

那么第 \(k+1\) 到 \(k+n\) 的均分数为

\[\begin{split} &\sum_{i=k+1}^{k+n}\left|\sum_{j=k+1}^id_j\right|\\ =&\sum_{i=k+1}^{k+n}\left| \sum_{j=1}^id_j- \sum_{j=1}^kd_j \right|\\ =&\sum_{i=k+1}^{k+n}\left| s_i-s_k \right|\\ \end{split} \]

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200;
int n,sum,t,ans=0x3f3f3f3f;
int a[N*2],d[N*2],s[N*2],g[N*2];
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
int main(){
    scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),sum+=(a[i+n]=a[i]);
	t=sum/n;
	for(int i=1;i<=n*2;i++)d[i]=t-a[i];
	for(int i=1;i<=n*2;i++)s[i]=s[i-1]+d[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int tot=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)tot+=abs(s[i+j]-s[i]);
		ans=min(ans,tot);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}