康托展开的公式是:X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
   例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20


通过康托逆展开生成全排列
  如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
  因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:

知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

c++代码如下:

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
const int fac[10] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320,362880};///阶乘  
int n;   
bool vis[10];    

void invKT(int k) { //输出第k个全排列   
    int i, j, t;  
    memset(vis, 0, sizeof(vis));  
    for (i = 0; i < n; i++) {  
        t = k / fac[n - i - 1];  //查找第t大的元素 
        for (j = 1; j <= n; j++)  
            if (!vis[j]) {  
                if (t == 0) break;  
                t--;  
            }  
        char ch=j+48;    //输出字符格式,减少占用的空间 
        printf("%c ", ch); 
        vis[j] = true;  
        k %= fac[n - i - 1];///余数  
    }  
}  

int main()  
{  
    scanf("%d",&n);
    int m=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) m=m*i;
    for(int k=0;k<m;k++){
        invKT(k);  
           printf("\n");
    }
}  

提交codevs1294(http://codevs.cn/problem/1294/)没有发现明显优势:

从1294看程序的使用空间(特别是第5个点):
康托展开式:

 



普通全排列算法:

       

附普通全排列的代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[100],p[100] ;
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++) {a[i]=i;cout<<i<<" ";}//初值为最小的字母表顺序
    cout<<endl;
    while (next_permutation(a+1,a+n+1)){
        for (int i=1;i<n;i++) printf("%d ",a[i]);
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

 说明:除了程序代码,大部分文字来源于:https://www.cnblogs.com/1-2-3/archive/2011/04/25/generate-permutation-part2.html