Ø      要将一张100元的大钞票，换成等值的10元、5元、2元、1元一张的小钞票，每次换成40张小钞票，每种至少1张。如，有一种换法：
Ø    10元：   1 张
Ø      5元：   5 张
Ø      2元：   31 张
Ø      1元：   3 张
Ø问：一共有多少种换法。
 
数学模型：
Ø10元：  a 张  (不超过10张)
Ø 5元：  b 张  (不超过20张)
Ø 2元：  c 张  (不超过50张)
Ø 1元：  d 张 (不超过100张)
Ø不定方程：
Ø10*a+5*b+2*c+d=100
Øa+b+c+d=40
Øa>=1;b>=1;c>=1;d>=1
Ø方程有多少组正整数解？
 方法1：
枚举abcd
#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=10;a++)
     for(b=1;b<=20;b++)
       for(c=1;c<=50;c++)
         for(d=1;d<=100;d++)
         if(a+b+c+d==40 && 10*a+5*b+2*c+d==100){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d\n",s,a,b,c,d);
         }
  return 0;
}
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思考如何减少一层循环

方法2：

#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=10;a++)
     for(b=1;b<=20;b++)
       for(c=1;c<=40;c++){
           d=40-(a+b+c);
             if(d>0&&10*a+5*b+2*c+d==100){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d\n",s,a,b,c,d);
         }
    }
  return 0;
}
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还能再减少一层循环吗？
方法3：
Ø根据不定方程：
Ø10*a+5*b+2*c+d=100
Øa+b+c+d=40
Ø可得：
c=60-(9*a+4*b);
d=8*a+3*b-20;
 这也只枚举a b即可。
#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=10;a++)
     for(b=1;b<=20;b++){
         c=60-(9*a+4*b);
           d=8*a+3*b-20;
             if(c>0&&d>0){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d\n",s,a,b,c,d);
         }
    }
  return 0;
}
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还可以继续优化吗？
方法4：
从枚举的范围进行优化
#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=7;a++)
     for(b=1;b<=17;b++){
             c=60-(9*a+4*b);
               d=8*a+3*b-20;
             if(c>0&&d>0){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d\n",s,a,b,c,d);
         }
    }
  return 0;
}
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结论：即使采用暴力枚举，也要认真分析问题。
 
常用的枚举优化措施：
（1）减少枚举层数；
（2）减少每一层的循环次数