P1024 一元三次方程求解

题目描述

有形如：ax^3+bx^2+cx^1+dx^0=0ax3+bx2+cx1+dx0=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,da,b,c,d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100−100至100100之间)，且根与根之差的绝对值\ge 1≥1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后22位。

提示：记方程f(x)=0f(x)=0，若存在22个数x_1x1​和x_2x2​，且x_1<x_2x1​<x2​，f(x_1) \times f(x_2)<0f(x1​)×f(x2​)<0，则在(x_1,x_2)(x1​,x2​)之间一定有一个根。

输入输出格式

输入格式：

 

一行，44个实数A,B,C,DA,B,C,D。

 

输出格式：

 

一行，33个实根，并精确到小数点后22位。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 -5 -4 20

输出样例#1： 复制

-2.00 2.00 5.00

解析1：暴力枚举（暴力出奇迹）
因为解的取值范围（-100~100），结果保留小数点后2位，完全可以枚举解决。需要注意的是，只有满足以下条件，才能确定解：

 double l=i,r=i+0.001;
        if((a*l*l*l+b*l*l+c*l+d)*(a*r*r*r+b*r*r+c*r+d)<0){
            printf("%.2lf ",l);
而不能直接

a*l*l*l+b*l*l+c*l+d=0，实数因为精度问题，结果未必能直接等于0

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    double a,b,c,d;
    int num=0;
    cin>>a>>b>>c>>d;
    for(double i=-100.00;i<=100.00;i+=0.001){
        double l=i,r=i+0.001;
        if((a*l*l*l+b*l*l+c*l+d)*(a*r*r*r+b*r*r+c*r+d)<0){// 若存在两个数x1，x2且x1<x2，f（x1）*f（x2）<0 则方程解肯定在x1~x2范围内  
            printf("%.2lf ",l);
            num++;// 小数点后两位输出
            if (num>=3)break;//找到3个解直接退出循环，提高时间复杂度。 
        }
    }
    return 0;    
}

 

解析2：二分

如果不会公式，可以根据题意：(根的范围在-100−100至100100之间)，且根与根之差的绝对值\ge 1≥1，边枚举，边二分。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=50050;
    double a,b,c,d;
double f(double x){
    return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d ;    
}
int main(){
    cin>>a>>b>>c>>d;
    for(int i=-100;i<100;i++)
        if (f(i)*f(i+1)<0){
            double l=i,r=i+1,eps=1e-4,mid;
            for(int j=1;j<=100;j++){
                mid=(l+r)/2;
                if(f(l)*f(mid)<=0) {
                  r=mid;
                }
                else l=mid;
            }
            printf("%.2lf ",mid);
        }
        else if(f(i)==0) printf("%.2lf ",double(i));
    return 0;
}