中国剩余定理

作者：知乎，Liu言杂记

来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/44591114

问题1：计算一个整数  ，使得它满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

如果能够找到三个整数  ，使得：

问题1-1: 除以3余2、除以5余0、除以7余0；

问题1-2： 除以3余0、除以5余3、除以7余0；

问题1-3： 除以3余0、除以5余0、除以7余2；

那么令  ，就很容易验证这时的  就满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

分别称找到整数  的问题为问题1-1、问题1-2、问题1-3。可以看出这三个问题本质上是类似的。

下面对问题1-1继续分解，如果能够找到一个整数  满足  除以3余1、除以5余0、除以7余0，那么令  ，就很容易验证这时的  就满足除以3余2、除以5余0、除以7余0。

因此定义

问题1-1-1为：寻找整数  满足  除以3余1、除以5余0、除以7余0；

问题1-2-1为：寻找整数  满足  除以3余0、除以5余1、除以7余0；

问题1-3-1为：寻找整数  满足  除以3余0、除以5余0、除以7余1。

这三个问题本质上是相同的。

如果找到了  ，那么就可以取  。

下面就以问题1-1-1为例：寻找整数  使得  除以3余1、除以5余0、除以7余0。

于是  一定是  的倍数，假设  。

那么就有  ，而这时的  就是  模3的逆（参看“5÷2=6？——是的，模7意义下”），将这个  记作  ，那么  就等于  ，恰好就是  ，对应“凡三三数之剩一，则置七十”一句及“三人同行七十稀”一句。

于是类推得到，

问题1-1-2的解答是  ，恰好就是  ，对应“五五数之剩一，则置二十一”一句及“五树梅花廿一枝”一句；

问题1-1-3的解答是  ，恰好就是  ，对应“七七数之剩一，则置十五”一句及“七子团圆月正半”一句。

所以将分解的问题复原，可得：

 。

最后 ，注意到，如果  满足除以3余2、除以5余3、除以7余2，那么  也同样满足。

因此要计算满足要求的最小的非负整数，就只需要计算总和除以105的余数即可。——对应“除百零五便得知”一句。

下面要讨论的是：如果有多个满足要求的整数，那么它们之间有什么关系呢？

假设  都满足“除以3余a、除以5余b、除以7余c”。

观察  会发现，  满足“除以3余0、除以5余0、除以7余0”。因此  一定是  的倍数。

这也就是说，在“模105同余”的意义下，之前通过分解问题、组合解答的方法所得到的  恰恰就是唯一解。

下面把这个问题一般化：假设整数  两两互素，则对于任意的整数  ，方程组

都存在整数解，且若 都满足该方程组，则必有  ，其中  。

具体而言，  。

——这就是我非常看重和喜欢的中国剩余定理(Chinese remainder theorem, CRT)。

 

作者：知乎，Liu言杂记

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