利用random5 生成 random7

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摘要：今天看算法，看到一个有意思的题目：给定一个函数 rand(5) 能随机生成 [1, 5] 之间的正整数，你能实现 rand(7) 吗？

尝试

如果我们用 rand(5) + rand(5) 呢？ rand(5) + rand(5) 的结果是 [2, 10], 我们思考一下就知道，这些数肯定不是等概率的，比如 2 的概率要低于 5 的概率(生成 2 只有 1+1 这一种可能，而生成 5 可以有 1+4，2+ 3, 3+2,4+1)。我们再来看看，现在既然有了随机等概率的 1, 2, 3, 4, 5 ,那很容易就有随机等概率的 10， 20， 30， 40， 50。假设现在又有另外一个函数，能等概率的生成 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，9，那么我们就能轻易的构造了等概率的 10， 11， 12， 13 ,... , 59(因为每一个数字只能有另外两个数字唯一相加得到)，这就是我们的整体思路。

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探索

基于上面的分析，我们首先要让 rand(5) 产生等概率的间距数组(比如上面的 10， 20， 30， 40， 50)，然后让 rand(5) 产生连续的待插入的数字(比如上面的 0， 1， 2 ,..., 9)。问题是，要多大的间距才合适呢？其实也很简单，要让 0， 1， 2， 3， 4 刚好能插入到间距数组中。

step1: 用 rand(5) 产生等概率的 0， 1， 2， 3， 4，准备插入到下一步的等间距数组中，使得插入刚好合适。

step2: 用 rand(5)产生等概率的 0， 1， 2， 3， 4，为了被插入，将其散开成 0， 5， 10， 15， 20。

step3: 将第一步的结果插入到第二步中，于是，就形成了 0， 1， 2， 3， 4 ,..., 21, 22, 23, 24。然后就很容易等概率地生成 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 。

/*
* 输入：rand5 产生 [1, 5] 的随机数
* 输出：rand7 产生 [1, 7] 的随机数
*/
int rand7() {
    int x = 22;
    while (x > 21) {  //将区间控制到 [1, 21]
        x = rand5() + (rand5() - 1) * 5;  //产生 [1, 25] 的整数区间
    }
    return 1 + x % 7;  //将[1, 21] 映射到 [1, 7]
}

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升华

上面的方法是基于这种思想：rand() 产生 [0, N-1], 把 rand() 视为 N进制的一位数产生器，那么可以使用 rand()*N + rand() 来产生 2位的 N进制数，以此类推，可以产生 3位， 4位...N位。这种按构造 N进制数的方式生成的随机数，必定能保证随机。

题目中 N为 5，因此可以使用 rand5() * 5 + rand5() 来产生 2位的 5进制数，范围就是 1 到 25。再去掉 22-25，剩余的除3，映射到 [1, 7] 的区间上，以此作为 rand7() 的产生器。

思考：如果反过来呢？给你 rand7, 让我们实现 rand5, 这个该怎么实现呢？最直观的想法就是不断调用 rand7, 直到它产生 1到5 之间的数，然后返回。代码如下：

int rand5() {
    int x = 6;
    while (x > 5) {  //将区间控制到 [1, 5]
        x = rand7()
    }
    return x;
}

根据以上，我们可以得出一个一般性结论：如果 A > B, 那么一定可以用 randA 去实现 randB, 其中 randA 表示等概率生成[1, a] 的函数， randB 表示等概率生成[1, b] 的函数。

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其它解法

对于上述题目，我们也可以采用预置数组的方式来解决，该方法简单，容易理解，但是不具有兼容性，需要额外的存储空间。

/*
* 输入：rand5 产生 [1, 5] 的随机数
* 输出：rand7 产生 [1, 7] 的随机数
*/
int rand7() {
    int vals[5][5] = {
        {1, 2, 3, 4, 5},
        {6, 7, 1, 2, 3},
        {4, 5, 6, 7, 1},
        {2, 3, 4, 5, 6},
        {7, 0, 0, 0, 0},
    };
    int res = 0;
    while (res == 0) {
        int i = rand5();
        int j = rand5();
        res = vals[i][j];
    }
    return res;
}