CF538G

不知道在哪里找到的题，感觉评不到黑，不过是 Good Tea.

首先了解将坐标系翻转 $45^{\circ}$ 的 trick ，对于每个坐标 $(x,y)$，翻转后的坐标为 $(x+y,x-y)$，这样的话，$x$ 和 $y$ 坐标是互相独立的，不会有关联。

我知道了这个之后然后竟然想出了一道 \*3100？

考虑没有循环的情况怎么做。我们将所有的限制按照时间排序，第 $i$ 个限制可以满足仅当 $i-1$ 到 $i$ 在每个坐标轴上的距离 $\leq t_i-t_{i-1}$，且距离与时间的奇偶性相同。

显然奇偶性无关循环，可以先单独判断掉，所以只需要考虑有循环的情况下的距离限制。

对于每个 $t$，我们都可以将它表示为 $t=k \times l + r$ 的形式，含义为走完了 $k$ 次完整的循环，在最新的一次循环中走到了第 $r$ 个。我们设一次完整的循环的位移为 $(X,Y)$。显然如果有多个 $r$ 是相同的，那就可以确定 $(X,Y)$ 了。

对于剩下的情况，显然有式子 $(p_{r},q_r)=(x_i,y_i)-k \times (X,Y)$。上句的 $p_r$,$q_r$ 表示在循环 $0$ 次， $r$ 时刻的位置。对于 $r$ 相邻的两个限制 $i$ 和 $i'$ ，我们就可以列出不等式 $(p_r,q_r)-(p_{r'},q_{r'}) \leq t_i-t_{i'}$，代入，可以得到一些关于 $(X,Y)$ 的一次不等式组。

得到 $(X,Y)$ 的范围后，就可以任取一组**符合奇偶性**的进行构造了。我们按照 $r$ 从小到大逐个构造，因为两个点的距离和时间都是确定的，所以有多少个 $+1$ 和 $-1$ 都能确定了。

这道题思路挺清新,主要是代码写起来比较麻烦。

为了方便，可以增加一组限制，在 $t=0$ 时坐标在 $(x,y)=(0,0)$。

同时需要注意不等式的上取整与下取整问题。

```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define SP system("pause")
using namespace std;
typedef long long lld;
const int maxn=2e6+800;
const lld INF=2e6;
int n,m;int fuck=0;
struct node{lld t,k,r,x,y;} q[2*maxn],fin;
bool operator<(node a,node b) {return a.r<b.r;}
bool operator==(node a,node b){return (a.x==b.x&&a.y==b.y);}
node mi(node a,lld k,node b)
{return (node){a.t,a.k,a.r,a.x-k*b.x,a.y-k*b.y};}
void efs(){printf("NO\n");exit(0);}
lld xl=-INF,xr=INF,yl=-INF,yr=INF;
lld d1v(lld a,lld b) {return ((a<0&&a%b)?a/b-1:a/b);}
//取下整
int mx[maxn],my[maxn],sx[maxn],sy[maxn];
lld nev(lld x){return (x%2?x+1:x);}//next even
lld neo(lld x){return (x%2?x:x+1);}//next odd
char ssh(int x,int y)
{
    if(x==+1&&y==+1) return 'R';
    if(x==+1&&y==-1) return 'U';
    if(x==-1&&y==+1) return 'D';
    if(x==-1&&y==-1) return 'L';
    return 0;
}
void solve(lld a,lld b,lld typ)//形如ax<=b的不等式
{
    if(!a&&b<0) efs();
    else if(!a) return ;
    lld l=-INF,r=INF;
    if(a>0) r=d1v(b,a);
    else l=-d1v(b,-a);
    if(!typ) xl=max(xl,l),xr=min(xr,r);
    else yl=max(yl,l),yr=min(yr,r);
    if(xl>xr||yl>yr) efs();
}
void costr()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q[i]=mi(q[i],q[i].k,fin);
    q[n+1]=fin;
    //随便写构造
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        int lp=q[i-1].r+1,rp=(i<=n?q[i].r:m);
        for(int j=q[i-1].r+1;j<=rp;j++)
        {
            if(j-lp+1<=abs(q[i].x-q[i-1].x))
                mx[j]=(q[i].x>q[i-1].x?+1:-1);
            else mx[j]=(j%2?+1:-1);
            if(j-lp+1<=abs(q[i].y-q[i-1].y))
                my[j]=(q[i].y>q[i-1].y?+1:-1);
            else my[j]=(j%2?+1:-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        printf("%c",ssh(mx[i],my[i]));
    printf("\n");
    exit(0);
}
int main()
{
    freopen("CF538G.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);n++;
    q[1]=(node){0ll,0ll,0ll,0ll,0ll};
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lld t,x,y;scanf("%lld%lld%lld",&t,&x,&y);
        q[i]=(node){t,t/m,t%m,x+y,x-y};
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lld dx=(q[i].x-q[i-1].x)%2;dx=(dx<0?-dx:dx);
        lld dy=(q[i].y-q[i-1].y)%2;dy=(dy<0?-dy:dy);
        lld dt=(q[i].t-q[i-1].t)%2;dt=(dt<0?-dt:dt);
        if(dx!=dt||dy!=dt) efs();
    }
    sort(q+1,q+n+1);
    int fid=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lld dk=-q[i].k+q[i-1].k,dt=q[i].r-q[i-1].r;
        lld dx=q[i].x-q[i-1].x,dy=q[i].y-q[i-1].y;
        if(q[i].r==q[i-1].r)
        {
            node fcx=(node){0,0,0,q[i].x-q[i-1].x,q[i].y-q[i-1].y};
            if(fcx.x%abs(dk)!=0||fcx.y%abs(dk)!=0) efs();
            fcx.x/=(-dk),fcx.y/=(-dk);
            if(!fid) {fin=fcx;fid=1;}
            if(fid&&!(fin==fcx)){efs();}
        }
        solve(dk,dt-dx,0);solve(-dk,dt+dx,0);
        solve(dk,dt-dy,1);solve(-dk,dt+dy,1);
    }
    //SP;
    lld lk=q[n].k+1,lt=m-q[n].r;
    lld lx=q[n].x,ly=q[n].y;
    solve(lk,lt+lx,0);solve(-lk,lt-lx,0);
    solve(lk,lt+ly,1);solve(-lk,lt-ly,1);
    if(m%2) xl=neo(xl),yl=neo(yl);
    else xl=nev(xl),yl=nev(yl);
    if(xl>xr||yl>yr) efs();//SP;
    if(fid&&(fin.x<xl||fin.x>xr)) efs();
    if(fid&&(fin.y<yl||fin.y>yr)) efs();
    if(fid) costr();
    fin=(node){0,0,0,xl,yl};
    costr();
    return 0;
}
```