线段树模板

一、简介线段树

$_此处以询问区间和为例。实际上线段树可以处理很多符合结合律的操作。$

线段树之所以称为“树”，是因为其具有树的结构特性。

线段树由于本身是专门用来处理区间问题的(包括RMQ

（图片来源于互联网。

对于每一个子节点而言，都表示整个序列中的一段子区间；

对于每个叶子节点而言，都表示序列中的单个元素信息；

子节点不断向自己的父亲节点传递信息，而父节点存储的信息则是他的每一个子节点信息的整合。

有没有觉得很熟悉？

对，线段树就是分块思想的树化，或者说是对于信息处理的二进制化

用于达到

其实，虽然线段树的时间效率要高于分块

但是实际上分块的总合并次数不会超过sqrt(n)

~~但是毕竟也只是一个很大的常数而已~~

其实越暴力的算法可以支持的操作就越多、功能性就越强.

~~$n^2n2的暴力几乎什么都可以维护(huaji$~~

二、逐步分析线段树的构造实现

1、建树与维护

由于二叉树的自身特性，对于每个父亲节点的编号

    int n;
    int ans[MAXN*4];

    inline int ls(int p){return p<<1;}//左儿子 
    inline int rs(int p){return p<<1|1;}//右儿子

1、此处的

2、二进制位左移一位代表着数值

~~用二进制运算不是为了装X,相信我，会快的！~~

那么根据线段树的服务对象，可以得到线段树的维护:

    void push_up_sum(int p){
        t[p]=t[lc(p)]+t[rc(p)];
    }// 向上不断维护区间操作 

    void push_up_min(int p){//max and min
     t[p]=min(t[lc(p)],t[rc(p)]);
     //t[p]=max(t[lc(p)],t[rc(p)]);             
    }

此处一定要注意， $push_up操作的目的是为了维护父子节点之间的逻辑关系。$

实际上 $push_up是在合并两个子节点的信息，所以需要信息满足结合律！$

那么对于建树，由于二叉树自身的父子节点之间的可传递关系，所以可以考虑递归建树

void build(ll p,ll l,ll r)
{
    if(l==r){ans[p]=a[l];return ;}
    //如果左右区间相同，那么必然是叶子节点啦，只有叶子节点是被真实赋值的
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(ls(p),l,mid);
    build(rs(p),mid+1,r);
//此处由于我们采用的是二叉树，所以对于整个结构来说，可以用二分来降低复杂度，否则树形结构则没有什么明显的优化
    push_up(p);
//此处由于我们是要通过子节点来维护父亲节点，所以pushup的位置应当是在回溯时。
}

2、接下来谈区间修改

为什么不讨论单点修改呢

那么对于区间操作，我们考虑引入一个名叫“

（1）首先先来从分块思想上解释如何区间修改：

分块的思想是通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成

那么我们可以反过来思考这个问题：

对于一个要修改的、长度为L

$总是可以看做由一个长度为2^log(⌊n⌋)和剩下的元素（或者小区间组成）。$

如果单个元素被包含就只改变自己，如果整个区间被包含就修改整个区间

其实好像这个在分块里不是特别简单地实现，

但是在线段树里，无论是元素还是区间都是线段树上的一个节点，

所以我们不需要区分区间还是元素，加个判断就好。

（2）懒标记的正确打开方式

首先，懒标记的作用是记录每次、每个节点要更新的值，也就是

整个区间都被操作，记录在公共祖先节点上；

只修改了一部分，那么就记录在这部分的公共祖先上；

如果四环以内只修改了自己的话，那就只改变自己。

$我们就需要在每次区间的查询修改时push_down一次，$

那么对于 $push_down而言，$

$其实就是纯粹的push_up的逆向思维(但不是逆向操作)：$

那么问题来了：怎么传导 $push_down呢？$

$开始回溯时执行push_up,因为是向上传导信息；$

$在向下递归的时候push_down；$

inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
{
    tag[p]=tag[p]+k;
    ans[p]=ans[p]+k*(r-l+1);
    //由于是这个区间统一改变，所以ans数组要加元素个数次啦 
}
//我们可以认识到，f函数的唯一目的，就是记录当前节点所代表的区间
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
{
    ll mid=(l+r)>>1;
    f(ls(p),l,mid,tag[p]);
    f(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
    tag[p]=0;
    //每次更新两个儿子节点。以此不断向下传递 
}
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
{
    //nl,nr为要修改的区间
    //l,r,p为当前节点所存储的区间以及节点的编号 
    if(nl<=l&&r<=nr)
    {
        ans[p]+=k*(r-l+1);
        tag[p]+=k;
        return ;
    }
    push_down(p,l,r);
    //回溯之前（也可以说是下一次递归之前，因为没有递归就没有回溯） 
    //由于是在回溯之前不断向下传递，所以自然每个节点都可以更新到 
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
    if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
    push_up(p);
    //回溯之后 
}

对于复杂度而言，由于完全二叉树的深度不超过

3、那么对于区间查询

没什么好说的，由于是信息的整合，所以还是要用到分块思想，我实在是不想再码一遍了

ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
{
    ll res=0;
    if(q_x<=l&&r<=q_y)return ans[p];
    ll mid=(l+r)>>1;
    push_down(p,l,r);
    if(q_x<=mid)res+=query(q_x,q_y,l,mid,ls(p));
    if(q_y>mid) res+=query(q_x,q_y,mid+1,r,rs(p));
    return res;
}

四、STD

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000001
#define ll long long
using namespace std;
unsigned ll n,m,a[MAXN],ans[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
inline ll ls(ll x)
{
    return x<<1;
}
inline ll rs(ll x)
{
    return x<<1|1;
}
void scan()
{
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void push_up(ll p)
{
    ans[p]=ans[ls(p)]+ans[rs(p)];
}
void build(ll p,ll l,ll r)
{
    tag[p]=0;
    if(l==r){ans[p]=a[l];return ;}
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(ls(p),l,mid);
    build(rs(p),mid+1,r);
    push_up(p);
} 
inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
{
    tag[p]=tag[p]+k;
    ans[p]=ans[p]+k*(r-l+1);
}
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
{
    ll mid=(l+r)>>1;
    f(ls(p),l,mid,tag[p]);
    f(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
    tag[p]=0;
}
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
{
    if(nl<=l&&r<=nr)
    {
        ans[p]+=k*(r-l+1);
        tag[p]+=k;
        return ;
    }
    push_down(p,l,r);
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
    if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
    push_up(p);
}
ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
{
    ll res=0;
    if(q_x<=l&&r<=q_y)return ans[p];
    ll mid=(l+r)>>1;
    push_down(p,l,r);
    if(q_x<=mid)res+=query(q_x,q_y,l,mid,ls(p));
    if(q_y>mid) res+=query(q_x,q_y,mid+1,r,rs(p));
    return res;
}
int main()
{
    ll a1,b,c,d,e,f;
    scan();
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        scanf("%lld",&a1);
        switch(a1)
        {
            case 1:{
                scanf("%lld%lld%lld",&b,&c,&d);
                update(b,c,1,n,1,d);
                break;
            }
            case 2:{
                scanf("%lld%lld",&e,&f);
                printf("%lld\n",query(e,f,1,n,1));
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}


本文转自@pks'w blog

posted @ 2018-11-02 08:24 年下丶阅读(223) 评论(0) 编辑收藏举报

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