高等数学随记 - 一道极限计算题的简化求解

题目

例1. 求limx0e(x2)+2eln(x+1)x2x2.

解法一:常规解法,洛必达法则(繁琐,暂略)

解法二:简化解法,利用麦克劳林公式(注意适用条件)

解. 取以下麦克劳林公式:(ln(x+1)展开到3次项,ex展开到2次项)

ln(x+1)=xx22+x33+o(x3)

ex=1+x+x22+o(x2)

对原式有:

limx0e(x2)+2eln(x+1)x2x2=limx0e(x2)+2exx22+x33+o(x3)x2x2

=limx0e(x2)+2e1x2+x23+o(x2)2x2

=limx0e(x2)+2eex2+x23+o(x2)2x2

=limx0e(x2)+2e(1x2+x23+o(x2)+(x2+x23+o(x2))22+o((x2+x23+o(x2))2))2x2

=limx02e(x23+x28)+o(x2)2x2

=limx02e1124x22x2

=1124e.

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