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高等数学随记 - 一道极限计算题的简化求解
合集 - 高等数学随记(2)
1.
高等数学随记 -
一道极限计算题的简化求解
2024-07-07
2.
高等数学随记 -
利用双元法求不定积分
2024-07-07
题目
例1. 求
lim
x
→
0
e
(
x
−
2
)
+
2
e
ln
(
x
+
1
)
x
2
x
2
.
解法一:常规解法,洛必达法则(繁琐,暂略)
解法二:简化解法,利用麦克劳林公式(注意适用条件)
解. 取以下麦克劳林公式:(
ln
(
x
+
1
)
展开到3次项,
e
x
展开到2次项)
,
,
ln
(
x
+
1
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
+
o
(
x
3
)
,
,
,
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
+
o
(
x
2
)
,
对原式有:
lim
x
→
0
e
(
x
−
2
)
+
2
e
ln
(
x
+
1
)
x
2
x
2
=
lim
x
→
0
e
(
x
−
2
)
+
2
e
x
−
x
2
2
+
x
3
3
+
o
(
x
3
)
x
2
x
2
=
lim
x
→
0
e
(
x
−
2
)
+
2
e
1
−
x
2
+
x
2
3
+
o
(
x
2
)
2
x
2
=
lim
x
→
0
e
(
x
−
2
)
+
2
e
⋅
e
−
x
2
+
x
2
3
+
o
(
x
2
)
2
x
2
=
lim
x
→
0
e
(
x
−
2
)
+
2
e
(
1
−
x
2
+
x
2
3
+
o
(
x
2
)
+
(
−
x
2
+
x
2
3
+
o
(
x
2
)
)
2
2
+
o
(
(
−
x
2
+
x
2
3
+
o
(
x
2
)
)
2
)
)
2
x
2
=
lim
x
→
0
2
e
(
x
2
3
+
x
2
8
)
+
o
(
x
2
)
2
x
2
=
lim
x
→
0
2
e
⋅
11
24
x
2
2
x
2
=
11
24
e
.
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