不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转?导致学生难以理解卷积的物理意义。
这个其实非常简单的概念,国内的大多数教材却没有讲透。
直接看图,不信看不懂。以离散信号为例,连续信号同理。
已知![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5B0%5D+%3D+a%2C+x%5B1%5D+%3D+b%2C+x%5B2%5D%3Dc)
已知![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5B0%5D+%3D+i%2C+y%5B1%5D+%3D+j%2C+y%5B2%5D%3Dk)
下面通过演示求
的过程,揭示卷积的物理意义。
第一步,
乘以
并平移到位置0:
![](https://pic2.zhimg.com/80/91f5eff235013ac729c44e98b3a537d0_720w.jpg)
第二步,
![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Bn%5D)
乘以
![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5B1%5D)
并平移到位置1:
![](https://pic2.zhimg.com/80/67c05239b05f671766b9df9393026f2c_720w.jpg)
第三步,
![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Bn%5D)
乘以
![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5B2%5D)
并平移到位置2:
![](https://pic2.zhimg.com/80/c34e839a49c6b616c57bde3c3dbbd67d_720w.jpg)
最后,把上面三个图叠加,就得到了
![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Bn%5D+%2A+y%5Bn%5D)
:
![](https://pic2.zhimg.com/80/4ce6cdcc28b10aca73db3f877d86ca02_720w.jpg)
简单吧?无非是
平移(没有反褶!)、叠加。
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从这里,可以看到卷积的重要的物理意义是:一个函数(如:单位响应)在另一个函数(如:输入信号)上的加权叠加。
重复一遍,这就是卷积的意义:加权叠加。
对于线性时不变系统,如果知道该系统的单位响应,那么将单位响应和输入信号求卷积,就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加,就直接得到了输出信号。
通俗的说:
在输入信号的每个位置,叠加一个单位响应,就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。
在输入信号的每个位置,叠加一个单位响应,就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。
在输入信号的每个位置,叠加一个单位响应,就得到了输出信号。这正是单位响应是如此重要的原因。
作者:张俊博
链接:https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457