最长递增子序列

最长递增子序列

300. 最长递增子序列

• 普通解法

#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    // 时间复杂度 O(n^2)
    int lengthOfLIS(vector<int> &nums) {
        int n = nums.size();
        // dp[i]: 以 nums[i] 结尾的最长递增子序列
        vector<int> dp(n);
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i])
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            res = max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
};

• 最优解

#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    // 大于等于 target 的左边界
    int binarySearch(vector<int> &ends, int len, int target) {
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (ends[mid] >= target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    // 时间复杂度 O(n * logn)
    int lengthOfLIS(vector<int> &nums) {
        int n = nums.size();
        // ends[i] 表示所有长度为 i + 1 的递增子序列的最小结尾
        // [0, len-1] 是有效区，有效区内的数字一定严格升序
        vector<int> ends(n);
        // len 表示 ends 数组目前的有效区长度
        int len = 0;
        for (int i = 0, pos; i < n; ++i) {
            pos = binarySearch(ends, len, nums[i]);
            if (pos == len) {
                // 找不到就扩充 ends
                ends[len++] = nums[i];
            } else {
                // 找到了就更新成更小的 nums[i]
                ends[pos] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
};

• 最长不下降子序列

#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    // 大于 target 的左边界
    int binarySearch(vector<int> &ends, int len, int target) {
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (ends[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    // 时间复杂度 O(n * logn)
    int lengthOfLIS(vector<int> &nums) {
        int n = nums.size();
        // ends[i] 表示所有长度为 i + 1 的不下降子序列的最小结尾
        // [0, len-1] 是有效区，有效区内的数字非递减
        vector<int> ends(n);
        // len 表示 ends 数组目前的有效区长度
        int len = 0;
        for (int i = 0, pos; i < n; ++i) {
            pos = binarySearch(ends, len, nums[i]);
            if (pos == len) {
                // 找不到就扩充 ends
                ends[len++] = nums[i];
            } else {
                // 找到了就更新成更小的 nums[i]
                ends[pos] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
};

354. 俄罗斯套娃信封问题

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

class Solution {
public:
    // 找大于等于的左边界
    int binarySearch(vector<int> &ends, int len, int target) {
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (ends[mid] >= target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    int maxEnvelopes(vector<vector<int>> &envelopes) {
        // 宽度从小到大，宽度一样，高度从大到小
        sort(begin(envelopes), end(envelopes),
             [](vector<int> &v1, vector<int> &v2) {
                 return v1[0] == v2[0] ? v1[1] > v2[1] : v1[0] < v2[0];
             });

        int n = envelopes.size();
        // ends[i] 表示长度为 i + 1 的子序列的最小末尾元素
        // 在有效区内严格递增
        vector<int> ends(n);
        // ends 数组的有效长度
        int len = 0;

        for (int i = 0, pos; i < n; ++i) {
            int target = envelopes[i][1];
            pos = binarySearch(ends, len, target);
            if (pos == len) {
                // 找不到就扩充 ends
                ends[len++] = target;
            } else {
                // 找到了就更新成更小的 nums[i]
                ends[pos] = target;
            }
        }

        return len;
    }
};

2111. 使数组 K 递增的最少操作次数

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

class Solution {
public:
    // 大于 target 的左边界
    int binarySearch(vector<int> &ends, int len, int target) {
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (ends[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    // 时间复杂度 O(n * logn)
    int lengthOfLIS(vector<int> &nums) {
        int n = nums.size();
        // ends[i] 表示所有长度为 i + 1 的不下降子序列的最小结尾
        // [0, len-1] 是有效区，有效区内的数字非递减
        vector<int> ends(n);
        // len 表示 ends 数组目前的有效区长度
        int len = 0;
        for (int i = 0, pos; i < n; ++i) {
            pos = binarySearch(ends, len, nums[i]);
            if (pos == len) {
                // 找不到就扩充 ends
                ends[len++] = nums[i];
            } else {
                // 找到了就更新成更小的 nums[i]
                ends[pos] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }

    int kIncreasing(vector<int> &arr, int k) {
        int n = arr.size();
        int res = 0;
        // 分为 k 组
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            vector<int> temp;
            for (int j = i; j < n; j += k)
                temp.emplace_back(arr[j]);
            // 累加这一组需要修改的数字
            res += temp.size() - lengthOfLIS(temp);
        }
        return res;
    }
};

646. 最长数对链

#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int binarySearch(vector<int> &ends, int len, int target) {
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (ends[mid] >= target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    int findLongestChain(vector<vector<int>> &pairs) {
        // 按照数对中第一个数增序
        sort(begin(pairs), end(pairs),
             [](vector<int> &v1, vector<int> &v2) {
                 return v1[0] < v2[0];
             });
        int n = pairs.size();
        vector<int> ends(n);
        int len = 0;
        for (int i = 0, pos; i < n; ++i) {
            // 根据数对中第一个数字查
            pos = binarySearch(ends, len, pairs[i][0]);
            if (pos == len) {
                // 插入的是数对中的第二个数字
                ends[len++] = pairs[i][1];
            } else {
                // 改成较小的
                ends[pos] = min(ends[pos], pairs[i][1]);
            }
        }
        return len;
    }
};

P8776 [蓝桥杯 2022 省 A] 最长不下降子序列

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

int n, k;

// 求最长不上升子序列长度的二分
// ends[0, len - 1] 为降序，找小于 target 的最左位置
int binarySearch1(vector<int> &ends, int len, int target) {
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    int mid;
    while (left <= right) {
        mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (ends[mid] < target) {
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}

// 求最长不下降子序列长度的二分
// ends[0, len-1] 为升序，找大于 target 的最左位置
int binarySearch2(vector<int> &ends, int len, int target) {
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    int mid;
    while (left <= right) {
        mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (ends[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}

// 生成辅助数组 rightMaxLen
// rightMaxLen[i]: 以 nums[i] 开头的最长不下降子序列长度
// 等价于从右往左遍历，以 nums[i] 做结尾的情况下的最长不上升子序列
vector<int> getRightMaxLen(vector<int> &ends, vector<int> &nums) {
    vector<int> rightMaxLen(nums.size());
    int len = 0;
    for (int i = n - 1, pos; i >= 0; i--) {
        pos = binarySearch1(ends, len, nums[i]);
        if (pos == len) {
            // 扩充 endsArr
            ends[len++] = nums[i];
            // 记录长度
            rightMaxLen[i] = len;
        } else {
            ends[pos] = nums[i];
            rightMaxLen[i] = pos + 1;
        }
    }
    return rightMaxLen;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    vector<int> nums;
    nums.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> nums[i];

    // 生成辅助数组
    vector<int> ends(n);
    vector<int> rightMaxLen = getRightMaxLen(ends, nums);

    int len = 0;
    int res = 0;
    for (int i = 0, j = k, pos; j < n; i++, j++) {
        // 根据当前划分点查，划分点左侧连续 k 个位置是要改成 nums[j] 的
        pos = binarySearch2(ends, len, nums[j]);

        // res 由三部分组成
        // 左侧：划分点左侧连续 k 个位置再往前的区域中，长度为 pos 的不下降子序列（最大值小于 nums[j]）
        // 中间：划分点左侧连续 k 个位置
        // 右侧：必须以 nums[j] 开始的不下降子序列的长度
        res = max(res, pos + k + rightMaxLen[j]);

        // 要插入的是 nums[i]，所以要再查找下插入位置
        pos = binarySearch2(ends, len, nums[i]);
        if (pos == len) {
            ends[len++] = nums[i];
        } else {
            ends[pos] = nums[i];
        }
    }
    // 特例：最后 k 个元素都改成左侧不下降子序列的最后一个值
    res = max(res, len + k);
    cout << res;
}