二维动态规划（下）
// 自底向上
int numDistinct(char *s, char *t) {
const int MOD = 1e9 + 7;
int lenS = strlen(s);
int lenT = strlen(t);
// dp[i][j]表示在s中前缀长度为i的字符串所包含的所有子序列中，有多少个子序列等于t中前缀长度为j的字符串
// i、j表示前缀长度，而不是字符串中的下标
int dp[lenS + 1][lenT + 1];
// 第一列全1，表示空串的时候匹配
for (int i = 0; i <= lenS; ++i) dp[i][0] = 1;
// 第一行除了第一个元素，全0，不可能匹配
for (int i = 1; i <= lenT; ++i) dp[0][i] = 0;
for (int i = 1; i <= lenS; ++i) {
for (int j = 1; j <= lenT; ++j) {
// 情况1：s[i]不选，则问题转化为dp[i - 1][j]
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
// 情况2：s[i]选，但是前提条件是末尾字符相同，问题转化为dp[i - 1][j - 1]，累积这两种情况
if (s[i - 1] == t[j - 1])
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - 1]) % MOD;
}
}
return dp[lenS][lenT];
}
// 空间优化
int numDistinct(char *s, char *t) {
const int MOD = 1e9 + 7;
int lenS = strlen(s);
int lenT = strlen(t);
// dp[i][j]表示在s中前缀长度为i的字符串所包含的所有子序列中，有多少个子序列等于t中前缀长度为j的字符串
// i、j表示前缀长度，而不是字符串中的下标
int dp[lenT + 1];
// 第一列全1，表示空串的时候匹配
// 第一行除了第一个元素，全0，不可能匹配
memset(dp, 0, sizeof(int) * (lenT + 1));
dp[0] = 1;
// 当前位置依赖于左上角和上方的格子，所以从上往下，从右往左填
for (int i = 1; i <= lenS; ++i) {
for (int j = lenT; j >= 1; j--) {
// 情况1：s[i]不选，则问题转化为dp[i - 1][j]，即上方格子，此时dp[j]不用变动，直接就表示上方格子
// 情况2：s[i]选，但是前提条件是末尾字符相同，问题转化为dp[i - 1][j - 1]，dp[j-1]尚未更新，表示左上方格子
if (s[i - 1] == t[j - 1])
dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1]) % MOD;
}
}
return dp[lenT];
}
int min(int a, int b) {
return a > b ? b : a;
}
// 插入、删除、替换一个字符的代价分别为a,b,c
int editDistance(char *s1, char *s2, int a, int b, int c) {
int len1 = strlen(s1);
int len2 = strlen(s2);
// dp[i][j]表示s1[前缀长度i]变成s2[前缀长度j]的最小代价
int dp[len1 + 1][len2 + 1];
// 空字符串到空字符串没有代价
dp[0][0] = 0;
// 空字符串到s2[前缀长度i]需要插入相应字符
for (int i = 1; i <= len2; ++i)
dp[0][i] = i * a;
// s1[前缀长度i]到空字符串需要删除相应字符
for (int i = 1; i <= len1; ++i)
dp[i][0] = i * b;
// 首行首列已经填完，剩下的格子和左侧、上方、左上方的格子有关
for (int i = 1; i <= len1; ++i) {
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
// 1. s1[i-1]参与
// 1.1 s1[i-1]变成s2[j-1]
// 1.1.1 末尾字符相同，即s1[i-1]等于s2[j-1]时，代价等于dp[i-1][j-1]（情况p1）
// 1.1.2 末尾字符不相同，代价等于dp[i-1][j-1]加上替换字符的代价（情况p2）
// 1.2 s1[i-1]不变成s2[j-1]
// 1.2.1 s1[0~i-1]变成s2[0~j-2]最后再插入字符s2[j-1]，代价等于dp[i][j-1]加上插入字符的代价（情况p3）
// 2. s1[i-1]不参与
// 2.1 即删除s1[i-1]，让s1[0~i-2]变成s2[0~j-1]，代价等于dp[i-1][j]加上删除字符的代价（情况p4）
int p1 = 0x7fffffff;
if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
p1 = dp[i - 1][j - 1];
int p2 = 0x7fffffff;
if (s1[i - 1] != s2[j - 1])
p2 = dp[i - 1][j - 1] + c;
int p3 = dp[i][j - 1] + a;
int p4 = dp[i - 1][j] + b;
dp[i][j] = min(min(p1, p2), min(p3, p4));
}
}
return dp[len1][len2];
}
int minDistance(char *word1, char *word2) {
return editDistance(word1, word2, 1, 1, 1);
}
int min(int a, int b) {
return a > b ? b : a;
}
// 插入、删除、替换一个字符的代价分别为a,b,c
int editDistance(char *s1, char *s2, int a, int b, int c) {
int len1 = strlen(s1);
int len2 = strlen(s2);
// dp[i][j]表示s1[前缀长度i]变成s2[前缀长度j]的最小代价
int dp[len1 + 1][len2 + 1];
// 空字符串到空字符串没有代价
dp[0][0] = 0;
// 空字符串到s2[前缀长度i]需要插入相应字符
for (int i = 1; i <= len2; ++i)
dp[0][i] = i * a;
// s1[前缀长度i]到空字符串需要删除相应字符
for (int i = 1; i <= len1; ++i)
dp[i][0] = i * b;
// 首行首列已经填完，剩下的格子和左侧、上方、左上方的格子有关
for (int i = 1; i <= len1; ++i) {
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
// 根据末尾字符是否相同划分
if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
// 相等时，代价就是之前dp[i - 1][j - 1]的代价
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 不等时，分为插入删除和替换三种可能
dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j - 1] + c, dp[i][j - 1] + a), dp[i - 1][j] + b);
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
// 易理解版
int minDistance(char *word1, char *word2) {
return editDistance(word1, word2, 1, 1, 1);
}
int min(int a, int b) {
return a > b ? b : a;
}
// 插入、删除、替换一个字符的代价分别为a,b,c
int editDistance(char *s1, char *s2, int a, int b, int c) {
int len1 = strlen(s1);
int len2 = strlen(s2);
int dp[len2 + 1];
// 空字符串到空字符串没有代价
dp[0] = 0;
// 第一行除了首元素外，其他位置表示从空字符串到s2[前缀长度i]需要插入相应字符的总代价
for (int i = 1; i <= len2; ++i)
dp[i] = i * a;
int leftUp;
int backup;
for (int i = 1; i <= len1; ++i) {
leftUp = (i - 1) * b;
// s1[前缀长度i]到空字符串需要删除相应字符
dp[0] = i * b;
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
backup = dp[j];
// 根据末尾字符是否相同划分
if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
// 相等时，代价就是之前dp[i - 1][j - 1]的代价
dp[j] = leftUp;
} else {
// 不等时，分为插入删除和替换三种可能
dp[j] = min(min(leftUp + c, dp[j - 1] + a), dp[j] + b);
}
leftUp = backup;
}
}
return dp[len2];
}
// 空间压缩，类似于最长公共子序列的空间压缩
int minDistance(char *word1, char *word2) {
return editDistance(word1, word2, 1, 1, 1);
}
bool isInterleave(char *s1, char *s2, char *s3) {
int len1 = strlen(s1);
int len2 = strlen(s2);
int len3 = strlen(s3);
if (len1 + len2 != len3) return false;
// s1[前缀长度为i]和s2[前缀长度为j]，能否交错组成s3[前缀长度为i+j]
bool dp[len1 + 1][len2 + 1];
for (int i = 0; i <= len1; ++i)
memset(dp[i], 0, sizeof(bool) * (len2 + 1));
dp[0][0] = true;
// 第一行：s3全由s2提供，最多能匹配到哪
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
if (s2[j - 1] != s3[j - 1]) break;
dp[0][j] = true;
}
// 第一列：s3全由s1提供，最多能匹配到哪
for (int i = 1; i <= len1; ++i) {
if (s1[i - 1] != s3[i - 1]) break;
dp[i][0] = true;
}
// 依赖上方和左侧格子
for (int i = 1; i <= len1; ++i) {
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
// s3最后一个字符来自s1最后一个或者s2最后一个，有一种成立即可
dp[i][j] = (s1[i - 1] == s3[i + j - 1] && dp[i - 1][j])
|| (s2[j - 1] == s3[i + j - 1] && dp[i][j - 1]);
}
}
return dp[len1][len2];
}
// 空间压缩
bool isInterleave(char *s1, char *s2, char *s3) {
int len1 = strlen(s1);
int len2 = strlen(s2);
int len3 = strlen(s3);
if (len1 + len2 != len3) return false;
bool dp[len2 + 1];
memset(dp, 0, sizeof(bool) * (len2 + 1));
dp[0] = true;
// 第一行：s3全由s2提供，最多能匹配到哪
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
if (s2[j - 1] != s3[j - 1]) break;
dp[j] = true;
}
// 依赖上方和左侧格子
for (int i = 1; i <= len1; ++i) {
// 第一列：s3全由s1提供，最多能匹配到哪
dp[0] = s1[i - 1] == s3[i - 1] && dp[0];
for (int j = 1; j <= len2; ++j) {
// s3最后一个字符来自s1最后一个或者s2最后一个，有一种成立即可
dp[j] = (s1[i - 1] == s3[i + j - 1] && dp[j])
|| (s2[j - 1] == s3[i + j - 1] && dp[j - 1]);
}
}
return dp[len2];
}
有效涂色问题
package class068;
import java.util.Arrays;
// 有效涂色问题
// 给定n、m两个参数
// 一共有n个格子，每个格子可以涂上一种颜色，颜色在m种里选
// 当涂满n个格子，并且m种颜色都使用了，叫一种有效方法
// 求一共有多少种有效的涂色方法
// 1 <= n, m <= 5000
// 结果比较大请 % 1000000007 之后返回
// 对数器验证
public class Code04_FillCellsUseAllColorsWays {
// 暴力方法
// 为了验证
public static int ways1(int n, int m) {
return f(new int[n], new boolean[m + 1], 0, n, m);
}
// 把所有填色的方法暴力枚举
// 然后一个一个验证是否有效
// 这是一个带路径的递归
// 无法改成动态规划
public static int f(int[] path, boolean[] set, int i, int n, int m) {
if (i == n) {
Arrays.fill(set, false);
int colors = 0;
for (int c : path) {
if (!set[c]) {
set[c] = true;
colors++;
}
}
return colors == m ? 1 : 0;
} else {
int ans = 0;
for (int j = 1; j <= m; j++) {
path[i] = j;
ans += f(path, set, i + 1, n, m);
}
return ans;
}
}
// 正式方法
// 时间复杂度O(n * m)
// 已经展示太多次从递归到动态规划了
// 直接写动态规划吧
// 也不做空间压缩了，因为千篇一律
// 有兴趣的同学自己试试
public static int MAXN = 5001;
public static int[][] dp = new int[MAXN][MAXN];
public static int mod = 1000000007;
public static int ways2(int n, int m) {
// dp[i][j]:
// 一共有m种颜色
// 前i个格子涂满j种颜色的方法数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][1] = m;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 2; j <= m; j++) {
dp[i][j] = (int) (((long) dp[i - 1][j] * j) % mod);
dp[i][j] = (int) ((((long) dp[i - 1][j - 1] * (m - j + 1)) + dp[i][j]) % mod);
}
}
return dp[n][m];
}
public static void main(String[] args) {
// 测试的数据量比较小
// 那是因为数据量大了，暴力方法过不了
// 但是这个数据量足够说明正式方法是正确的
int N = 9;
int M = 9;
System.out.println("功能测试开始");
for (int n = 1; n <= N; n++) {
for (int m = 1; m <= M; m++) {
int ans1 = ways1(n, m);
int ans2 = ways2(n, m);
if (ans1 != ans2) {
System.out.println("出错了!");
}
}
}
System.out.println("功能测试结束");
System.out.println("性能测试开始");
int n = 5000;
int m = 4877;
System.out.println("n : " + n);
System.out.println("m : " + m);
long start = System.currentTimeMillis();
int ans = ways2(n, m);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("取余之后的结果 : " + ans);
System.out.println("运行时间 : " + (end - start) + " 毫秒");
System.out.println("性能测试结束");
}
}
删除至少几个字符可以变成另一个字符串的子串
package class068;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
// 删除至少几个字符可以变成另一个字符串的子串
// 给定两个字符串s1和s2
// 返回s1至少删除多少字符可以成为s2的子串
// 对数器验证
public class Code05_MinimumDeleteBecomeSubstring {
// 暴力方法
// 为了验证
public static int minDelete1(String s1, String s2) {
List<String> list = new ArrayList<>();
f(s1.toCharArray(), 0, "", list);
// 排序 : 长度大的子序列先考虑
// 因为如果长度大的子序列是s2的子串
// 那么需要删掉的字符数量 = s1的长度 - s1子序列长度
// 子序列长度越大，需要删掉的字符数量就越少
// 所以长度大的子序列先考虑
list.sort((a, b) -> b.length() - a.length());
for (String str : list) {
if (s2.indexOf(str) != -1) {
// 检查s2中，是否包含当前的s1子序列str
return s1.length() - str.length();
}
}
return s1.length();
}
// 生成s1字符串的所有子序列串
public static void f(char[] s1, int i, String path, List<String> list) {
if (i == s1.length) {
list.add(path);
} else {
f(s1, i + 1, path, list);
f(s1, i + 1, path + s1[i], list);
}
}
// 正式方法，动态规划
// 已经展示太多次从递归到动态规划了
// 直接写动态规划吧
// 也不做空间压缩了，因为千篇一律
// 有兴趣的同学自己试试
public static int minDelete2(String str1, String str2) {
char[] s1 = str1.toCharArray();
char[] s2 = str2.toCharArray();
int n = s1.length;
int m = s2.length;
// dp[len1][len2] :
// s1[前缀长度为i]至少删除多少字符，可以变成s2[前缀长度为j]的任意后缀串
int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
}
}
}
int ans = Integer.MAX_VALUE;
for (int j = 0; j <= m; j++) {
ans = Math.min(ans, dp[n][j]);
}
return ans;
}
// 为了验证
// 生成长度为n，有v种字符的随机字符串
public static String randomString(int n, int v) {
char[] ans = new char[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans[i] = (char) ('a' + (int) (Math.random() * v));
}
return String.valueOf(ans);
}
// 为了验证
// 对数器
public static void main(String[] args) {
// 测试的数据量比较小
// 那是因为数据量大了，暴力方法过不了
// 但是这个数据量足够说明正式方法是正确的
int n = 12;
int v = 3;
int testTime = 20000;
System.out.println("测试开始");
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int len1 = (int) (Math.random() * n) + 1;
int len2 = (int) (Math.random() * n) + 1;
String s1 = randomString(len1, v);
String s2 = randomString(len2, v);
int ans1 = minDelete1(s1, s2);
int ans2 = minDelete2(s1, s2);
if (ans1 != ans2) {
System.out.println("出错了!");
}
}
System.out.println("测试结束");
}
}
