opengl算法学习---圆弧绘制

opengl算法学习--圆弧绘制

整圆的绘制算法有逐点比较法、Bresenham算法和中点画圆法,这些算法可以在生成1/4象限圆弧或者1/8象限圆弧的基础上通过已生成的象限对称而绘制出其他象限的圆弧，称为4路对称或8路对称。

4/8路对称

根据圆弧在多个象限上的对称性，我们就可以通过一个象限上的点来推出其他象限上的点，以4路对称为例，若知道一个点在第一象限上的坐标(x,y)，即可通过x轴，y轴以及圆心对称，得知该点在其它象限上得坐标

根据4路对称，我们可以通过角度cos与sin的性质，推出8路对称，如下图所示

代码实现(8路对称)

int ar[4][2]={{1,1},{-1,1},{1,-1},{-1,-1}};

void circledrew(int x,int y,int ox,int oy)
{
    for(int i=0;i<4;i++) Setpoint(ox+x*ar[i][0],oy+y*ar[i][1]);
    for(int i=0;i<4;i++) Setpoint(ox+y*ar[i][0],oy+x*ar[i][1]);
}

Bresenham画圆算法

Bresenham画圆算法适合于生成整圆，它使用8路对称法，只需计算出90°~45°内的点，沿着右下方向（+x，-y）逐点扫描。

方法概述
设点P\((x_{i},y_{i})\),为第i步选定的坐标，由于计算区间为90°~45°，所以下一个候选点必定为T\((x_{i}+1,y_{i})\)或者S\((x_{i}+1,y_{i}-1)\)

令D(T)为T点到原点距离的与半径的平方差,D(S)为S点到原点距离的与半径的平方差。
可知

\[D(T)=(x_{i}+1)^{2}+y_{i}^{2}-r^{2}>0 \]

\[D(s)=(x_{i}+1)^{2}+(y_{i}-1)^{2}-r^{2}<0 \]

定义

\[d_{i}=D(T)+D(s)=2(x_{i}+1)^{2}+y_{i}^{2}+(y_{i}-1)^{2}-2r^{2} \]

可推出

\[d_{i+1}=2(x_{i+1}+1)^{2}+y_{i+1}^{2}+(y_{i+1}-1)^{2}-2r^{2} \]

\[=2(x_{i}+1)^{2}+4x_{i}+6+y_{i+1}^{2}+(y_{i+1}-1)^{2}+y_{i}^{2}+(y_{i}-1)^{2}-y_{i}^{2}-(y_{i}-1)^{2}-2r^{2} \]

\[=d_{i}+4x_{i}+6+y_{i+1}^{2}-y_{i}^{2}+(y_{i+1}-1)^{2}-(y_{i}-1)^{2} \]

当\(d_{i}>0\)时 \(y_{i+1}=y_{i}-1\)
当\(d_{i}\leq 0\)时 \(y_{i+1}=y_{i}\)

\[\Rightarrow d_{i+1}= \left\{\begin{matrix} d_{i}+4(x_{i}-y_{i})+10 & d_{i}>0 \\ d_{i}+4x_{i}+6 & d_{i}\leq 0 \end{matrix}\right. \]

因为起点坐标为(0,r)
所以

\[d_{1}=2+r^{2}+(r-1)^{2}-2r^{2} \]

\[=3-2r \]

代码实现

void Bresenham(int ox,int oy,int r)
{
    int x=0,y=r,d=3-(r<<1);
    circledrew(x,y,ox,oy);
    while (x<=y)
    {
        if(d<0) d+=(x<<2)+6;
        else 
        {
            d+=((x-y)<<2)+10;
            --y;
        } 
        ++x;
        circledrew(x,y,ox,oy);
    }
}

中点画圆法

中点画圆法与Bresenham画圆法类似,通过对预测点的中点，计算下一个点的位置

方法概述
设点\(P(x_{i},y_{i})\)为当前点亮像素，接下来的候选像素点为\(T(x_{i}+1,y_{i})\)或\(S(x_{i}+1,y_{i}-1)\)，线段ST的中点\(M(x_{i}+1,y_{i}-0.5)\)。
构造函数\(F(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}\)
若\(F(M)<0\),说明M在圆内，选取T点
若\(F(M)\geq 0\),说明M在圆外，选取S点

设

\[d_{i}=F(M)=F(x_{i}+1,y_{i}-0.5) \]

若\(d_{i}<0\),则下个点选择T

\[\Rightarrow d_{i+1}=(x_{i}+2)^{2}+(y_{i}-0.5)^{2}-r^{2}=d_{i}+2x_{i}+3 \]

若\(d_{i}\geq 0\),则下个点选择S

\[\Rightarrow d_{i+1}=(x_{i}+2)^{2}+(y_{i}-1.5)^{2}-r^{2}=d_{i}+2(x_{i}-y_{i})+5 \]

\[\Rightarrow d_{i+1}= \left\{\begin{matrix} d_{i}+2x_{i}+3 & d_{i}<0 \\ d_{i}+2(x_{i}-y_{i})+5 & d_{i}\geq 0 \end{matrix}\right. \]

因为起点坐标为(0,r)
所以

\[d_{1}=1+(r-0.5)^{2}-r^{2} \]

\[=1.25-r \]

由于在实际实现中，之后的递推式中并不会出现浮点运算，所以0.25并不会影响之后的正负关系，因此可以将d1简化为1-r,可提高该算法效率
代码实现

void midpointcircle(int ox,int oy,int r)
{
    int x=0,y=r,d=1-r;
    circledrew(x,y,ox,oy);
    while (x<=y)
    {
        if(d<0) d+=(x<<1)+3;
        else 
        {
            d+=((x-y)<<1)+5;
            --y;
        }
        ++x;
        circledrew(x,y,ox,oy);
    }
}

角度离散法

角度离散法利用已有的直线算法来分段绘制圆弧或椭圆弧,即借助与参数方程绘制曲线，并采用“以直代曲”的策略。采用这种方式的优点在于灵活性强（自由控制所绘制的弧角），而不足之处在于计算效率不高。

方法概述
若已知圆心坐标\((x_{c},y_{c})\)，半径 r ，则该圆以角度t为参数的参数方程为

\[\left\{\begin{matrix} x=x_{c}+rcost \\ y=y_{c}+rsint \end{matrix}\right. \]

通过离散化参数t对圆的参数方程进行离散化，离散步长\(\delta t\)通常根据半径的大小经验确定，半径越大，步长\(\delta t\) 适当取小；半径较小时，步长\(\delta t\) 适当取大。以逆时针方向为正，当参数t从\(t_{s}\)变化至\(t_{e}\)时，表示绘制一段圆弧。

代码实现

void arccircle(int ox,int oy,double r,double angs,double ange)
{
    if(ange<angs) ange+=2*PI;
    double dt=0.4/r;
    int n=(int)((ange-angs)/dt);
    int x=Round(ox+r*cos(angs));
    int y=Round(oy+r*sin(ange));
    glVertex2i(x,y);
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        glVertex2i(Round(x+r*cos(angs+i*dt)),Round(y+r*sin(angs+i*dt)));
    }
    glEnd();
    glFlush();
}