动态规划---摘花生

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式

第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

$1\leq T \leq 100,$
$1\leq R,C \leq 100,$
$0\leq M \leq 1000$

输入样例：

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

输出样例：

8
16

解题思路

1. 状态表示：
   f(i, j)：从（1,1）→（i，j）的所有方案中摘得花生最多的数量
2. 状态转移：
   $(i-1,j)\rightarrow (i,j)$
   $(i,j-1)\rightarrow (i,j)$

代码实现

朴素版

#include <iostream>
using namespace std;
 
const int N = 105;
int w[N][N], f[N][N];
 
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t --) {
        int r, c;
        cin >> r >> c;
        for (int i = 1;i <= r; i ++) {
            for (int j = 1; j <= c; j ++) {
                cin >> w[i][j];
            }
        }
        for (int i = 1; i <= r; i ++) {
            for (int j = 1; j <= c; j ++) {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1])+w[i][j];
            }
        }
        cout << f[r][c] << endl;
    }
    return 0;
}

时间复杂度：$O(2n^2)$

空间复杂度：$O(2n^2)$

优化版

#include <iostream>
using namespace std;
 
const int N = 105;
int f[N][N];
 
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int k = 0; k < n; k ++) {
        int r, c;
        cin >> r >> c;
        // 输入与计算合并
        for (int i = 1; i <= r; i ++) {
            for (int j = 1; j <= c; j ++) {
                int v;
                cin >> v;
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + v;
            }
        }
        cout << f[r][c] << endl;
    }
    return 0;
}

时间复杂度：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(n^2)$