pku1063 Flip and Shift严格证明

题目地址

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1063

设有m个黑圆，n个白圆，这个题的结论是

1.当 m  + n 为奇数时，肯定能操作成功

2.当 m + n 为偶数时，随便取一个黑圆，标号为a1 = 1,然后逆时针给所有黑圆标号,

逆时针第i个黑圆的标号为其位置号,统计黑圆的奇数位置数odds和偶数位置数evens，

若|odds - evens| <= 1,则操作也可以完成。

3.除1，2外，都不能完成操作。

 

先证明3

      比较简单。若|odds - evens| >= 2, 且m + n 为偶数，则flip时，每个圆的位置奇偶性不变。假设最后能使所有黑圆连续，则这些黑圆的位置必然是奇偶相邻，从而必有|odds - evens| <=1,矛盾。

再证明1

      反证，假设不可能操作成功。

      假设操作后，能达到的最长的连续黑圆数为K，则K < m。

      1)若K为奇数，给这K个黑圆的第一个为标号1，顺时针依次标号，容易得知，标号K + 1和m+n都为白圆。注意到

K+1为偶数，如果此时在偶标号有黑圆，则可以通过flip操作，将其flip到K+1位置，导致更长的连续黑圆序列，与假设矛盾。而m+n为奇数，如果在奇数标号有黑圆，也可通过flip操作将其flip到m+n位置，也会形成更长的黑序列，同样矛盾。

如此一来，在长度为K的黑序列之外，再无黑圆，此又与K<m矛盾。

      2)K为偶数，标号设置同1)。此时，标号K+1和m+n都为白圆，且均为奇数，同1)，奇数位没有黑圆，但偶数位有一个黑圆，我们通过flip，可将该黑圆flip到m+n-1位置处，此时，m+n处的白圆夹于m+n-1和1位置的黑圆之间。此时，我们通过flip，可将m+n处的白圆flip到位置2，而位置2的黑圆到了位置m+n,然后再次flip位置2处的白圆到位置4，依次下去，最终可将白圆flip到位置K。此时，m+n-1,m+n,1,2…K-1构成 K+1的黑色序列，与最长的黑色序列假设矛盾。

      综上，1也被证明。

 

2的证明

     还是同1证明的思路，假设一个最长的黑色序列，长度为K<m,且标号同上。由于m+n是白圆，且为偶数，则偶数位不能有黑圆，多余的那个黑圆只能在奇数位。而K+1位也是白圆。

     1)K为偶数

            此时K+1为奇数，在奇数位的多余黑圆可通过flip到达K+1位，构成更长的黑色序列，矛盾

     2)K为奇数

            此时在黑色序列中，奇数位的黑子比偶数位的多1，而在外边，偶数位不能有黑子，奇数位至少有一个黑子，这样

odds – evens >=2 ，与假设矛盾。

 

代码如下

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
	int N;
	cin >> N;
	for (int i = 0;i<N;i++)
	{
		int n;
		cin >> n;
		vector<int> eles(n);
		for (int j = 0;j<n;j++)
		{
			cin >> eles[j];
		}
		if (n%2 == 1)
		{
			cout << "YES"<<endl;
		}else{
			int oneEvenPos = 0;
			int oneOddPos = 0;
			for (int j = 0;j<n;j++)
			{
				if (eles[j] == 1 && j%2 == 0)
				{
					oneEvenPos ++;
				}
				if (eles[j] == 1 && j%2 == 1)
				{
					oneOddPos ++;
				}
			}
			if (abs(oneOddPos - oneEvenPos) >=2)
			{
				cout << "NO" << endl;
			}else{
				cout << "YES" << endl;
			}
		}
	}
	return 0;
}