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摘要： 以下默认小写字母 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 等表示的向量是一个行向量，\(\mathbf{1}\) 表示全 \(1\) 行向量，\(\operatorname{diag(\mathbf{a})}\) 表示一个大小 \(|\mathbf{a}|\times |\mathbf{ 阅读全文

摘要： 零化多项式 定义： 矩阵定义 设域为 \(\mathbb{F}\)，在一个线性空间 \(\mathbb{F}^n\) 上的线性变换 \(T:V\to V\)（域为 \(\mathbb{F}\)）。 若有在域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式 \(F(z)=\sum f_iz^i\) 满足： 阅读全文

摘要： 众所周知，第二类斯特林数通过二项式反演可以得到通项公式。 应用它可以得到线性计算 bell 与 fubini numbers 的方法。 先来看贝尔数。 \[\begin{aligned} Bell(n)&=\sum_{k=0}^n{n\brace k}\\ &=\sum_{k=0}^n\sum_{j 阅读全文

摘要： 核心思想是将无法处理的运算参量单独设为一个未知量，也就是变成维护二元组，多个未知量就是多元组，然后设置它们的合并规则进行计算。 一般而言，最终的未知量都会消去。 例如 NOI2025 集合 中，我们需要涉及到处理含 \(0\) 算式的乘除法，可以将数字表达为 \(x·0^y\) 的形式，用二元组 \ 阅读全文

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摘要： 判定有解是一个比较经典的Hall定理。 也即，将 \(a\) 看作正数，将 \(b\) 看作负数，那么一个在 \((i,j,k)\) 的 \(1\)，可以与一个在 \((a,b,c)(a\ge i,b\ge j,c\ge k)\) 的 \(-1\) 进行匹配。 根据 Hall 定理，有 \(|N(S 阅读全文

摘要： 考虑设 \(B=64\)，每 \(64\) 个元素分一块。 处理跨块查询 这样的查询，是由一段的后缀拼上若干整块拼上一段前缀。 因此我们维护每个块的前后缀最值以及将每一块的最值拿出建立 \(ST\) 表。 复杂度 \(O(n+\frac{n}{B}\log\frac{n}{B})=O(n)\)。 处 阅读全文

摘要： 同余最短路与完全背包 经典问题是 luogu P9140，类似题目还有 CF 2115E 给定若干物品 \((v_i,w_i)\)，其中 \(w\) 是价值 \(v\) 是占用体积，做完全背包。 不妨默认已经按性价比排序。 其核心结论有如下几个： 至多有 \(v^2_{\max}\) 的背包用于放置 阅读全文

摘要： 记忆 首先 Trie 树整体 \(\pm 1\) 是容易的，只需要从低位插入，然后一直交换左右儿子然后往左/右递归即可。整体异或也是容易的，只需要打 tag，处理时判断自己这一位需不需要翻转左右儿子即可。 查一个数在插入后若干次操作后的值，记录这个数插入后的点编号，从这个点开始不断访问父亲即可知道自 阅读全文

摘要： 染色 这是一道很经典的树链剖分的题目，这里提出使用全局平衡二叉树的解法。 全局平衡二叉树处理树链问题是极具优势的，只需要做到 \(O(1)\) 子树打 tag，单点修改，下传标记，即可做到 \(O(\log n)\) 单次修改查询。 其用途显然不止优化 ddp。 全局平衡二叉树上，一条树链被如何表达 阅读全文