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摘要： PN 筛 Powerful Number 筛 oi-wiki 上说是杜教筛的 expand，但是这玩意 只能做积性函数前缀和 若未加说明，以下涉及的 \(f,g,h\) 均为积性函数。\(p\) 均为质数 Powerful number 定义一个数 \(N=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i 阅读全文

摘要： 当学 Min 25 的一个前置知识。 算法内容。 定义 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)。对于一个函数 \(g\)，有： \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n(f * g)(i)&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g( 阅读全文

摘要： 定理篇 Vizing 定理 一般形式 令 \(G=(V,E)\)，设 \(D(G)=\max_{u\in V}deg_u\)，设 \(c\) 为用颜色 \(1\sim c\) 分别为 \(E\) 中每条边上色，使得所有有公共端点的边颜色不同。 则 \(D(G)\le c_{\min}\le D(G) 阅读全文

摘要： 个人感觉质量挺好，拿 CF Div.2 来对标也是出的比较好的一场。唯一的缺陷可能是E/F应该换个位置？ 简要写个题解？ A 给定数组 \(a\)，以及常数 \(k\)，定义 \(w(i,j)\) 当 \(|a_i-a_j|>k\) 时候为 \(\max(a_i,a_j)\)，否则为 \(\min( 阅读全文

摘要： 本题包含三个问题： 问题 0：已知两棵 \(n\) 个节点的树的形态（两棵树的节点标号均为 \(1\) 至 \(n\)），其中第一棵树是红树，第二棵树是蓝树。要给予每个节点一个 \([1, y]\) 中的整数，使得对于任意两个节点 \(p, q\)，如果存在一条路径 \((a_1 = p, a_2, 阅读全文

摘要： link 计数类 *3100 首次独立过纪念版题解。 首先我们考虑一个去重的问题。貌似针对循环同构去重的问题，只能从循环节上入手。 那么我们考虑设 \(dp(d)\) 为 最小循环节长度恰好为 \(d\) 不同方案数个数，则答案为： \[\sum_{d=1}^ndp(d)=\sum_{d|n}\fr 阅读全文

摘要： 组合符号化构造 将组合对象快速转化为生成函数方法 无标号组合构造 无标号组合构造食用 OGF。 我们定义一个组合类 \((A,|·|)\) ，其中 \(A\) 是对象集合，而 \(|·|\) 将每个对象变成它的大小函数。如字符串长度，图的点集大小等。如对于 \(A=\lbrace 0,1\rbrac 阅读全文

摘要： Burnside 与 Polya 推导过程： 部分题目 模板 Polya 定理 给定 \(n\) 个点 \(n\) 条边的环，\(m\) 种颜色，问本质不同染色方案数，两个方案本质不同，当且仅当对于所有的循环串都不同 直接 \(Burnside\)。 考虑到给长为 \(d\) 的链染色的本质不同方案 阅读全文

摘要： 萌萌题，但是细节比较麻烦。 首先注意到，\(ax+by=\lambda\)，由于我们只需要若干括号的相对顺序，其中一个未知数完全可以舍去，因为可以通过另一个未知数达到相同值。 设我们只关心 \(x\) 的取值，变为按照 \(ax+b\) 排序。那么设 \(k'=a\)，变成 \(\lambda =k 阅读全文

摘要： 简洁的题面，深邃的思想。 首先，一个经典的套路是： 对于序列中涉及到对于 \(a_{a_i}\) 和 \(a_i\) 进行操作的问题，一般可以考虑建立 \((i,a_i)\) 的内向基环树或者 \((a_i,i)\) 的外向基环树转化为图论问题。 我们建立 \((i,a_i)\) 的内向基环树，\( 阅读全文