省选模拟4

省选模拟4

A

小丑做法，设 $f_{S,i,j}$ 为使用边权 $\le j$ 的边连通了集合 $S$，里面使用了 $i$ 个 $a$ 的最小生成树。

转移朴素枚举，复杂度 $O(3^n{m}^3)$

B

是原题。

注意到一个点走过一轮后，从父亲离开后下一次访问会完全访问。

因此可以 dfs 求得一个节点会在第几轮整体遍历的时候走到（也就是从根节点离开再回到根节点的过程，本质上是数有多少个祖先跳过了这个方向的子树）

显然最多 $n$ 轮后就会开始循环，且将最后的完整的访问序列拿出来后，任意轮的访问序列都是其一个子序列（选择部分跳过，也就是跳过轮数不够的部分）。

那么对于一个询问，可以先二分得到其轮数，然后在当前轮的状态下查找第某个访问的节点

使用线段树，利用双指针去掉二分。

C

考虑真正的最短路应该如何走。

不妨将这个排列视作棋盘上的 $n$ 个棋子，不重行不重列。

那么有：

这样可以看出，一个连通块必然是原排列的一段区间，且若 $[i,i+1]$ 是分界点，那么满足 $\underset{j\le i}{max}{p}_j=i$

那么我们现在就当连通处理。

考虑这时候右上部分和左下部分的问题事实上是独立的。

例如右上部分，我们一定会走一个一步到达的最上方点或者最右边点。

我们不妨以右上部分为例，拿出这两个点，

这时候等效于走到这个红点。

那么我们可以通过一定的预处理，直接求得对于每个 $i$，这个红点的位置。

同时这时候我们的答案就呼之欲出了：$\sum _{x=1}^{n}dis(x,i)=\sum _{j=1}^n\sum _{x=1}^n[dis(x)\ge j]$。

也就是，事实上答案是这个 “红点” 路径，所有“红点”的右上角矩阵中点个数之和。

这样就可以通过一定的预处理得到一个平方复杂度的做法。

现在考虑优化它。

事实上，我们将整个跳跃过程的图建立出来，我们声称其点个数数量级不超过 $n\sqrt{n}$。

证明考虑，除了起始点之外，走到的任意一个点 $(x,y)$，贡献这两个坐标的点是向左倾斜的，也就是设点 $i,j$ 贡献了点 $(x,y)$，那么 $i<j\leftrightarrow p_i>p_j$。

因此拿出所有的这样的 $(i,j)$ 并拿出这样的点，对于某个固定的 $x$，拿出所有“红点”并按照 $y$ 从大到小排序，设为 $b_1\sim b_m$。

考虑将其中前 $B$ 个标记为好点，那么考虑从 $(x,x)$ 开始跳的过程，若经过了坏点 $(x,y)$，那么下一步 $y$ 会直接变成 $b_m$ ，至少不小于，那么这直接最少减小了 $B$，因此每条路径最多经过 $\frac{n}{B}$ 个坏点，而好点总共只有 $nB$ 个，因此总点数不超过 $\frac{n^2}{B}+nB$，对于任意正整数 $B$ 成立，取 $B=\sqrt{n}$ 知点数不超过 $O(n\sqrt{n})$ 量级，而每个点出度都是 $1$。

然后考虑答案的计算，直接建立出这棵树，然后从上往下扫描线即可。

注意只需要加入 $O(n)$ 个点，却有着 $O(n\sqrt{n})$ 次查询，利用分块计数，维护块内前缀和和整块前缀和即可。