省选模拟6

省选模拟6

只会T1，给大家磕头了。

可以根据已知信息得到一个DP方程。

$$f_{i,j}=max(f_{i-1,j}+[j\le X_i]P_i,f_{i,j-1}+[i\le Y_j]Q_j)$$

求 $f_{n,m}$。

走格子形式 dp 优化可以考虑整行转移

可以写作：

$$f_{i,j}=\underset{k\le j}{max}(f_{i-1,k}+[k\le X_i]P_i+\sum _{t=k+1}^j[i\le Y_t]Q_t)$$

不妨设 $li{m}_{i,j}=[i\le Y_j]Q_j,sli{m}_{i,j}=\sum _{t\le j}li{m}_{i,t}$。

有：

$$f_{i,j}=\underset{k\le j}{max}(f_{i-1,k}+[k\le X_i]P_i-sli{m}_{i,k})+sli{m}_{i,j}$$

设 $g_{i,j}=f_{i,j}-sli{m}_{i,j}$

有：

$$g_{i,j}=\underset{k\le j}{max}(g_{i-1,k}+[k\le X_i]P_i+sli{m}_{i-1,k}-sli{m}_{i,k})$$

注意到所有的 $sli{m}_{i-1,k}-sli{m}_{i,k}$ 可以总结为 $O(m)$ 次后缀修改，然而我们做完修改后是做前缀最大值。

考虑将其转化为前缀修改，也就是看作全局加 $Q_t$，然后看作 $-[i>Y_t]Q_t$

那么现在就是一堆前缀加减，操作完后再做前缀 $max$。

发现单次前缀加减后维护前缀 $max$ 是容易的，只需要线段树上二分并做区间赋值。

这启发我们研究这些操作，我们将这一堆前缀加减，形如 $(r,w)$ 的二元组按照 $r$ 从小到大排序。

在执行操作 $(r_i,w_i)$ 后，更新 $[r_{i-1}+1,r_i]$ 的前缀最大值即可。

辅助加入 $(m,0)$。

这样操作保证了前面操作不影响后续，因此是正确的。

这启发我们前缀修改的性质。