省选集训-模拟赛 3

合集 - 省选集训(11)

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A

$2^n·n^2$ 的暴力枚举想必不用多说。

考虑暴力 dp，设 $f_{i,S}$ 为 $[1,i]$ 里选了集合 $S$ 的点，那么可以容易的 $O(n)$ 扫描更新，做到 $O(2^n·n)$

注意到对于 $f_{i,S}$ 以及更后面的状态而言，将 $a_i\sim a_n$ 排序后的 $b_1\sim b_{n-i+1},b_0=0,b_{n-i+2}=n+1$ 若已经选的数 $x,y$ 满足 $\mathrm{\exists }i,b_{i-1}<x,y<b_i$，则 $x,y$ 是等效的。

这启发我们将 dp 状态重新定义为 $f_{i,c_1,c_2,\dots }$，表示选完 $[1,i]$ 后，在后面的这些段里面，已经选的数字落在每一段的数的个数。

这样看似很暴力，但是事实上可以分析：设当前有 $m$ 段，$l_1\sim l_m$（左开右闭），而段长总和是 $n$，则状态数总和 $\prod _{i=1}^m{l}_i\le \prod _{i=1}^m\bar{l}=(\frac{n}{m}{)}^m$

考虑求函数 $f(x)=(\frac{n}{x}{)}^x$ 的最值：

$$f(x)=e^{\ln f(x)}=e^{x\ln \frac{n}{x}}=(e^x{)}^{\ln n-\ln x}$$

该函数在 $e$ 时取到最值，$(-\mathrm{\infty },e)$ 单调递增，$(e,+\mathrm{\infty })$ 单调递减，且 $f(3)>f(2)$，因此状态数最多是 $O(n{3}^{\frac{n}{3}})$，加上转移复杂度，实现精细可以做到 $O(n^2{3}^{\frac{n}{3}})$

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还存在一个折半法：考虑将前 $26$ 个与后 $9$ 个分治，按照后 $9$ 个的范围将前 $26$ 个划分为 $9$ 段，其 $2^{26}$ 种状态化简后并不多，将每个状态取最优的，再加上 $2^9\times status$ 的枚举计算。

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还存在一个抽象复杂度做法：可以基于 LIS/LDS 给出暴力枚举（在此基础上增加元素），而我们知道 $max(LIS,LCS)\ge \sqrt{n}$，所以可以 $2^{29}$ 左右。

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B

考虑分治计算答案，设中间轴是 $mid$，我们考虑计算起点在 $[l,mid]$ 列中，终点在 $[mid+1,r]$ 列中。

容易发现，走回头路的情况只有一种：

如果要走回头路，则必然是第一行与第三行之间转换，且 mid 左边至多一次，mid 右边至多一次。

而走回头路，最优的 U 字可以预处理（通过前缀和即可知晓，顺序扫一遍，每次相当于加入一条竖线，并给所有竖线加上若干权值）。

注意 U 字并不一定在 $[l,r]$ 范围内

那么现在我们就可以考虑计算了。

设 $f_{i,j,k}$ 表示第 $j$ 行第 $k$ 列的元素到第 $i$ 行 $mid$ 列元素的最短路（$k\le mid$ 不计算 $val(i,mid)$，$k>mid$ 计算 $val(i,mid)$）

这个可以先简单 dp 不走回头路的情况（这一定不会超出 $[l,r]$ 范围，可以 $O(n(r-l))$ 解决），然后再用 U 去更新决策

那么 $(x,y)\to (p,q)$ 的最短路可以描述为：

$$min(f_{0,x,y}+f_{0,p,q},f_{1,x,y}+f_{1,p,q},f_{2,x,y}+f_{2,p,q})$$

而我们需要计算的就是对于所有的 $x\in [0,n-1],y\in [l,mid],p\in [0,n],q\in [mid+1,r]$ 这样的值的和。

其实挺容易的，我们考虑枚举 $0/1/2$ 谁取到最小并计算。

我们优先让 $0$ 取最小，其次让 $1$ 取最小，最后让 $2$ 取最小，这里是边界上的问题，稍加讨论即可。

那么以 0 取最小为例，事实上是：

$$\{\begin{array}{l}{f}_{0,x,y}+f_{0,p,q}\le f_{1,x,y}+f_{1,p,q}\\ f_{0,x,y}+f_{0,p,q}\le f_{2,x,y}+f_{2,p,q}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{f}_{0,x,y}-f_{1,x,y}\le f_{1,p,q}-f_{0,p,q}\\ f_{0,x,y}-f_{2,x,y}\le f_{2,p,q}-f_{0,p,q}\end{array}$$

这是一个二维偏序问题，容易计算。

因此本题 $O(nm{\log }^{2}m)$ 解决了。

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C

做法很多啊，根据 lcm 有决策单调性（四边形不等式）等等。

讲一个独一无二的反贪做法：我们考虑从 $i\to i+1$。

首先每个 $b$ 相同的肯定先取 $c$ 最大的。

考虑在 $i$ 的最优解中删掉 $S$，并加入 $T$，满足 $1+\sum _{x\in S}{b}_x=\sum _{x\in T}{b}_x$

且由于最优性，若存在 $X\subseteq S,Y\subseteq T,\sum _{x\in X}{b}_x=\sum _{y\in Y}{b}_y$，则可以同时去掉集合 $X,Y$。

根据这样的限制条件打表发现只有 27 个方案，枚举取最优即可。