省选集训-模拟赛2

合集 - 省选集训(11)

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10.省选集训-模拟赛201-08

11.省选集训—线性代数01-03

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A

读错题了，真唐。

注意到是电性只和移动方向有关系，但是我们需要考虑虚实。

将其变为不交换，只变化属性，那么$x\to \leftarrow y$ 只是属性变为碰撞球属性的相反属性。

因此我们考虑向左移动的球撞到一个向右移动的球后有什么变化，不妨设向右移动的球的树形分别为 $[c_0,\dots c_k]$，则新加入一个属性为 $t$ 的球（往左碰撞），会使得 $\mathrm{\neg }{c}_0$ 被收集，然后序列变为 $[c_1,c_2,\dots c_k,\mathrm{\neg }t]$

因此不妨设实为 $1$ 虚为零，我们动态维护序列 $c$，有如下操作：

1. 遇到一个正电荷球（右移），在 $c$ 的末尾加入 $1$
2. 遇到一个负电荷球（碰撞），将 $c$ 的开头弹出并累计答案，在 $c$ 的末尾加入 $0$

我们需要统计的是有多少个 $1$ 被弹出。

不妨将当前局面的前缀负电荷球扔掉，这样我们保证 $c$ 始终不空，那么最终只会弹出前 $cn{t}_{-}$ 个球，并且我们只计算弹出的 $cn{t}_{+}$ 个数。

也就是说，将原序列转为 01 序列（0 为负电荷），并删掉开头的零后，答案就是前 $cn{t}_0$ 个数里面有多少个 $1$。那么开头的零也就没必要删除了。

考虑计算，对于位置 $t$ 而言，若这是一个 $1$，且被弹出，当且仅当 $cn{t}_0\ge t$，也就可以直接计算了。

$$\sum _{1\le t\le n,a_t=?\vee a_t=1}\sum _{x=0}^{precn{t}_{?}}\sum _{y=0}^{sufcn{t}_{?}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{precn{t}_{?}}{x})(\genfrac{}{}{0ex}{}{sufcn{t}_{?}}{y})[x+y\ge t-cn{t}_0]$$

显然，$precn{t}_{?}$ 递增，$sufcn{t}_{?}$ 递减，而 $t-cn{t}_0$ 同样递增，因此 $x,y$ 的总变化范围是有限的，所以可以利用组合数前缀和的技巧做掉。

B

先除掉 $X$，变为 $gcd=1$

注意到 $\mu (Y)\ne 0$，因此质因子次数都是 $1$，那么我们就可以根据有没有质因子给每个元素赋值为最多 $15$ 位二进制数（都不存在的位直接删掉，这样 $Y$ 对应满 $1$），不妨设这对应的二进制数为 $h(Y)$，问题就变成了树上有多少个连通块 $V$，${|}_{x\in V}h(a_x)=Y,{\mathrm{\&}}_{x\in V}h(a_x)=0$。

当然，我们可以设 $b_x=h(Y)\oplus a_x$，变成 ${\mathrm{\&}}_{x\in V}h(b_x)=0$

定义 $g(V)=g(\prod _{x\in V}{v}_x)=[V\text{is connected},|V|>0]$，我们可以用生成函数来表达这个式子：

定义多项式运算 $x^a{y}^b{v}_i·x^p{y}^q{v}_j=x^{a\mathrm{\&}p}{y}^{y\mathrm{\&}q}{v}_i{v}_j$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{g(V)=1}[x^0{y}^0\prod _{x\in V}{v}_x]\prod _{i=1}^n(1+x^{h(a_i)}{y}^{h(b_i)}{v}_i)\\ & =\sum _{g(V)=1}[x_0{y}_{0}V]IFWT(\prod _{i=1}^{n}FWT(1+x^{h(a_i)}{y}^{h(b_i)}{v}_i))\\ & =\sum _{g(V)=1,i,j}[x^i{y}^{j}V](-1{)}^{i+j}[\mathrm{\forall }t\in V,h(a_t)\mathrm{\&}i=a_t,h(b_t)\mathrm{\&}j=j]\end{array}$$

注意到 $a_t|b_t=h(Y)$，因此 $i,j$ 若有值必然 $i|j=h(Y)$。

可以暴力枚举 $i,j$ ，则选出可用点后，这个值是一个裸树上连通块个数计数，简单dp即可。

发现对于一个点 $t$ 而言，$h(a_t)\mathrm{\&}i=t,h(b_t)\mathrm{\&}j=t$ 的 $(i,j)$，事实上只有 $2^{popcount(h(Y))-popcount(h(a_t))}·2^{popcount(h(a_i))}=2^{popcount(h(Y))}$

因此通过一定的预处理，可以做到 $O(n{2}^{popcount(h(Y))})$

C

这题目没意义