线性基求交

定义线性空间 $V_i$ 的基底为 $B_i$，现在我们希望求出 $V_1\cap V_2$ 的基底 $W$。

• 引理：令 $T=V_1\cap B_2$，若 $B_1\cup (B_2/T)$ 线性无关，则 $T$ 是所求的 $W$ 之一。

  证明：考虑反面证明，若 $T$ 非法则线性有关，设 $v\in V_1\cap V_2$ 且不能被 $T$ 表出。

  那么有 $v=x\oplus y,x\in T,y\in B_2/T$，且 $y>0$。

  因为 $x\in T⟹x\in V_1$，同时 $v\in V_1$，所以 $x\oplus v=y\in V_1$

  $y$ 就可以被 $B_1$ 表出

  则 $B_1\cup (B_2/T)$ 线性相关。

考虑如何求出 $W$，可以考虑枚举 $x:1\to |B_2|$：

• $b_x\in B_2$

  1. $b_x$ 可以被 $B_1\cup \{b_1,b_2\dots b_{x-1}\}$ 表出

     设 $b_x=p\oplus q,p\in V_1,q$ 被 $\{b_1,b_2\dots b_{x-1}\}$ 表出，则将 $q$ 加入 $W$。

  2. 否则不做任何操作。

证明这样可以求出 $W$，只需要证明 $V_{B_2-W}\cap V_1=\{0\}$ 即可。

设 $x\in V_{B_2/W}\cap V_1,x>0$

则有 $x$ 可以被 $B_1$ 以及 $B_2/W$ 表出，那么取出 $B_2/W$ 里下标最大的 $b_k$，则有 $b_k$ 可以被 $B_2/W/\{b_k\}\cup B_1$ 表出，那么与假设不符。

证毕。

实现：

struct node{
    int d[32];
    node(){
        memset(d,0,sizeof d);
    }
    void ins(int x){
        for(int i=31;i>=0;--i)if((x>>i)&1){
            if(d[i])x^=d[i];
            else {d[i]=x;return ;}
        }
    }
    bool count(int x){
        for(int i=31;i>=0;--i)if((x>>i)&1){
            if(!d[i])return false;
            x^=d[i];
        }
        return true;
    }
    node operator&(const node b)const {
        node tmpa;memcpy(tmpa.d,d,sizeof d);
        node uda=tmpa,res;
        for(int i=0;i<32;++i)if(b.d[i]){
            int x=b.d[i],sur=0,tag=1;
            for(int j=i;j>=0;--j)if((x>>j)&1){
                if(tmpa.d[j])x^=tmpa.d[j],sur^=uda.d[j];
                else {tmpa.d[j]=x,uda.d[j]=sur,tag=0;break;}//uda.d[i] 指该元素使用的 B_1 中元素 xor 和
            }
            if(tag)res.ins(sur);
        }
        return res;
    }
};

例题：

牛客884B

给定 $n$ 个线性基，问 $[l,r]$ 的线性基是否都能够表出 $x$

考虑先建立线段树，该节点代表子树内所有线性基的交。

然后查询时在分的log个线性基里各自查询即可。

复杂度 $O(nk\log n+n{k}^2)$，其中 $k$ 是线性基维度。

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一个新的线性基求交方法

只适用于异或线性基

参考：link

$base(A\cap B)=base((A^{\perp }\cup B^{\perp }{)}^{\perp })=base(A^{\perp }\cup B^{\perp }{)}^{\perp }$

现在的问题就是如何求出正交补的基。

考虑设线性基为 $V$，先将其化为简化阶梯型。

然后考虑构造正交补线性基 $T$，为：

将 $V$ 写作矩阵消元，得到 $k$ 个关键位，将剩下 $n-k$ 个关键位分别作为 $T$ 中元素的最低位。

然后对每一个 $T$ 中元素，设其最低位是 $t$，对于 $V$ 中所有 $t$ 这一位非零的向量 $v$，设其最高位为 $h$，将 $T$ 中这个元素的 $h$ 位置为 $1$。

for(int i=n-1;~i;--i){
	if(a[i]==0){
        b[i]=1<<i;
		for(int j=n-1;j>i;--j)if((a[j]>>i)&1)b[i]|=(1<<j);
    }
}